p-+-f/) 2.4.G...(p-7) \'ll p-q

D'autre part,

1.5.5...(/; + 7-l)=[^) ' 2.6.10...(2p+ 2«/-2); puis, par une transformation bien connue (*),

Enfin,

On a donc

p — q VU ''■

puis

ces'' X CCS nxdx := — C .„ . (62)

(*) Voir pages 45, 55,

( l'JÔ )

Mil. Dr la (ormnh-

(lue à Poisson {*), nn déduit, par iiiiégralion,

— y. ,os j= I . '- — ; (03)

t'I, par diiïérenciation,

cos

Lîi combinaison do celle égalilé, avi c celle-ci :

donne ce résultai connu :

\IV. SkIU'. — On a, en série convergente,

Donc, si l'on suppose le premier membre de l'égalité (6o) développé suivant les puissances de x, le coeificient de j^" doit être

(*) Voir, sur d'autres conséquences de cette formule. la IVote XXXV. (•*) Note XXXV.

Or,

— ^~- . cos X

= (4 - 1) A./^'-(4'-- 1)A,^'h-... ±(V - lU.. ^=F - 0, ^'24 ^In

pourvu que l'on suppose

1 [In -+- 1) Identifiani, nous avons doue

Celte formule ne diffère pas, au fond, de celle de Plana :

Aulremenl dit,

En effet, celte égalité revient à celle-ci :

Il 0

puis à r identité

(*) iVo^e LIX, p. 208.

(•*) iVo^e XXXIil, p. !)2.

(•••) Ibid., p. 95.

( 195 ) XV^ Comme on le \i'ri(ie aisément,

/ »'0s2.r«}j; -j</a=2cosx — -cos2x — ^ — i>^. [cos-xj- (6G)

Donc, en piiiiiciilier,

I * cos 2j- Ig - xi\s = — 1 -^ ^.-i. (67)

La rehiiion ((Ki) va nous donner d'autres intégrales déliuies, assez intéressantes.

Soit X le second membre. Intégrant par parties, on a

' xdx cos 2a- Ig 7 j- = [Xx]^ — / * Xdx (I (I

= ^(- I -+- -('.ii) -+- y ^1 - 2 ,-,»sx-t- -cos 2x-t- ^ -4-2jl\ fcos ^-xVdx. La dernière intégrale se décompose en

Ainsi y * jrrfjr cos 2x tg - x = - -+- ^^ J\2 — 2 -4- 2 /^^ -C. f cos i A/x.

Si l'on fait -x=^7., on a 2 f ^ ^. (cos-xj <lx = 4 / ^ 4^(oos y.) (/a == — r -f .2 -+- 2G (*).

Par conséquent,

^ xrfx cos 2x ta; - X = -—-/*. 2 — 2 -+- 2G. «)8)

(*) BlERE.NS DE IIaan, T. :28().

( 196 ) XVI. Suite. — Soil

E= / ' [sin (2a + A)x — sin (2« -h 2)a;] ig - xdx, (69)

le paramètre a surpassant ( — I).

La quantité entre parenthèses équivaut à

2 sin X cos (2a -+- 5)x = 4 sin - x cos - x cos (2a -t- 3ja-;

donc

E=4 / '^ sin"^- .rcos(2o-+-3)x(/x = 2 / '^ (I — cosx)cos(2a-+-5)xrfir = 2 / ^ cos(2a+5)xf/x— / '^ cos(2aH-2)xrfx— / ^ cos(2o+4)x(/x,

sin (2a h- 5) -

2 sin(a-+-i;5r sin (a -t- 2);r

Prenant les dérivées des deux membres, on a

^ xdx [cos (2a -+- 4)x — cos (2o -t- 2)x] Ig - x

TT cos (2a + 5)- sin (2a -4- 5)- ^ ^ ^ 2 ^cos(a+l)7r, (71)

sin (a -f- IJTT 7T cos (a -+- 2)7t sin (a -+- 2)7r "^ 2(a H- ])■■' 2(â~7~2J ^ 2(a -+- 2)'^ '

Il y a, maintenant, deux cas à distinguer.

1" Si o est un nombre pair, le second membre se réduit à