CXXXVII. — Sur les Klassoides
I, Transformation des formules. — Aux formules (87) de mon ancien Mémoire {**), on peut substituer celles-ci, dont la vérification est facile (***) :
X = (p'(a) sin a -+- ^"(a) ces a -t- ^|;'(^) sin 6 -+- ^"{b) ces b, \ y = (p'(a) cos a — 9"(a) sin a -t- ^'{b) ces 6 — (\)"{b) sin 6, (1)
En particulier :
X = (p'(a) sin a -+- 9"(a) cos a -f- cp^'*) *'" ^ "+" ?"(^) ^"^ ^5 ]
fj = cp'(a) cos a — (p"{a) sin o -4- (p'(a) cos 6 — 9"(6) sin 6, ( (2)
II. Êlassoïdes algébriques. — Pour en obtenir, il suffit de supposer que œ(a) soit fonction de sin a ou de cos a.
Prenons, par exemple,
cp(a) = cos 2«, (5)
auquel cas les formules (2) deviennent
<;os^ a -+- cos^ 6 = > sin^ « -t- sin^ 6 = - »
Cos^a — cos^6 = ~-l/^ n.
(*) Surfaces à courbure moyenne nulle. Celte dénomination d'élassoide a été proposée par M. Ribaucolr, dans le beau Mémoire couronné, en 1880, par l'Académie de Belgique.
(**) Journal de l'École polytechnique, 37« Cahier, p. 156. (***) Elle se fait comme on Je voit à Tendroil cité.
(") Le système (2), ne renfermant qu'une fonction arbitraire, ne constitue pas Vintégrale générale de l'équation aux dérivées partielles :
( l -+- p*) < — ifjqs -+-(!-+- 7^) r = 0.
(*) Nous supprimons le calcul, très simple.
Pour rvitor les fraciions, soieiil, génénilemoni : oos^a -+- cos''/i=A, siii'u -+- siiiV> = H, cos'ff — cos*6 = 2C, (5) puis rt'ijnalioii (ik.i ilinir-c :
cos" a -+- (OS* h = 12a. (6)
Il résulle, des deux dernières :
cos'a = i-f-C, cos*6=A — C, j
(7) sin* H = 1 — ) — (!, siii* h = \ — )-+-(;. )
De la première des équations (5), on lire
cos" u = A' — "JA fos" h -+- cos** h, puis
4A- cos'' b = {X- — cos'* a -f- ces* ft)*,
e'est-à-dire, à eause des valeurs (7) :
4A-{A — Cf = [A- — 2C' - 6Cx*]*. (8)
On irouve, semblablemeni,
4B*(1 +(;;)' = [B^ +• !2C' -4- GC(l — xff (*). (9)
Il reslerail à éliminer 1, ce qui serait plus long que difTicile. Mais il vaut mieux conserver les équations (8) et (9), en y regardant ). comme un paramètre variable : ces équations représentent la génératrice de Vélassoïde (**).
111. Remarque. — Celui-ci est réel. En effet, soit - = 0, d'où C = 0. Les équations (8), (9) se réduisent à
4A'=— , 4(1 — Af =^.
(*) L'égalité (S) étant connue, il suffît, pour former l'égalité (9), de changer A, C, /. en B, — C, I — >.
(**) On ne doit pas oublier que
œ II z , , —
( «82 ) Il résulte, de eelles-ci,
î Sf 1^
équation d'une hjjpociidoïde à quatre rebroiissements.
IV. Rayons principaux. — Reprenons les formules rappelées ci-dessus (*) :
clx = CT'(a) sin ada -+- 7r'[b) ninhdb, \
dy = nî'(a) ces ada -+- ^'{b) cos bdb, \ (10)
dz = \/~^ [r:>'{a] da — 7r'{b) db] ; ]
puis les suivantes, qui s'en déduisent :
cos - (a -+- b) sin - (« -4- 6)
sin -(a— 6) sin-(a — />) MU)
i -f- p^ -4- 7- = — cot^ - (a — 6)-
L'équation qui donne les rayons principaux d'un élassoïde est
(S^ H)R2==(| H-p^-+- 7^^ (ll>)
Il s'agit de former s'^ — r/.
Or:
f/x du dp dx dij dp
r HS^- = — ' ^*Tr'*'*~^= TT'
f/a f/a </a db db db
dx dy dq dx dy dq
da da da db db db
Par conséquent,
dpdq dpdq ( dx dy I dx di/ I dx dy \ dx dy\ dadb db da \ da daj\ db db j \ db db^\ da daj
Idx dy dx dy ^ ^'"' ~'^\dadb~dbda
(*) Ce sont les formules (87) du Mémoire.
'//* (((j ilj) i((j (lu (II) (II) (lu
ilx dy (Ix (hj (la (Ih (II) (lu
D'après les formules (10), la valeur du dénominaleur est,
évidemment,
^'(«) 7r'(6) sin (« — b).
D'un autre eôté, les relations (11) donneni :
dp I cos h (l<j \ , sin «
dii^^'l ~ . , 1 ~' 'dî)~~^l ~ ~î '
sm* - (n — h) sm*-(« — h)
dp I , t'os « du I . ^ !>in b
sixr -(a — b) sm* - (a — b)
Ainsi
puis
dp (Uj dp d(j I sin (a — b)
lia dh itb du 4 I
sin*- (a — b)
s^—rl = . (14)
4a'(a)7r'(/>)sin*- (« — /;)
D'ailleurs (11),
cos* - (a — b
sin* -(a — b)
Donc, finalement,
R^ = /^rs' {a) n'{b) cos'- {a -b). (15)
Je
V. Discussion d'un élossoïde. — A la fin du Mémoire, nous avons donné les formules :
— X = [e" -+- e~") i:o> m -h (e" — e~") sin m, y = (e" -+■ e~") sin m — (c" — e~") cos m, ^ (1 6)
Il résulte, des deux premières :
(x cos m — y sin m f — [x sin m -+- y cos mf = 4 (18)
Soient :
x ^ u cos 0), y = If sin ce.
L équation (18) devient
»/*[cos*(»<? -+- «) — sin"()/« -+- :j)] = 4, puis
i>w = — ;2w -+- arc cos — • (1 9)
Quant à l'équation (17), elle donne
ir — l M" — 16
L'équation de la surface est donc
z = 2co — arc cos — -+- J ' v"')
tr 4
Celle-ci a la l'orme
2 =; A-o; -+- F(il).
Or, cette nouvelle équation appartient à la surface d'une vis, dont le pas est 2A7i, et dont le profil serait représenté par
VI. Remarque. — Si l'on éliminait seulement n, l'équation (21) serait remplacée par le système suivant, qui représente une génératrice quelconque de l'élassoïde :
n- cos {'■2m -+- 2^) = 4. (22)
(*) Mémoire, p. 20.
Cela posé :
1" L>qtin(ion (2!2) représente une iiilinité de cylindrrs hi/perboliques, é}i;;iiix à celui doiii l'équ;»iion est
"2" Léqualion (^'2) représente des surfaces de nholufion, égales entre elles.
Quand le cylindre tourne autour de l'axe Oz, la surface de révolution jîlisse le long de cet axe. On voit donc, de nouveau, que Vélassoiide considéré est une surface de vis.
Addifion. — (Septendjrc 1880) (*).
VII. A la fin de son avant-propos, l'Auteur du travail envoyé à l'Académie, s'énonce ainsi :
« M. Sophus Lie a montré que les surfaces à courbure
» moyenne nulle sont, de deux façons, des surfaces-moulures. »
J'ai toujours soupçonné, sans pouvoir le démontrer, que les élassoïdes sont des surfaces à génératrice constante. Quant au théorème de M. Lie, il résulte assez simplement, si je le comprends bien, des formules :
jr = / CT'(a) sin ada -+- / T\h) sin hdh,
y = / ct'(m) cos ada ■+■ j 7r'{h) ces hdh.
Soient :
/ j;!'{a) sin ada = X, / 7r'(fe) sin hdh =^ X, ,
/ w'(a) ros ada = Y, / ?:'((>) cos hdh = Y, , y^^ ^a) = Z, l/"^^ t(6) = Z, ;
(*) Tirée du Rapport sur le Mémoire de M. Ribaucour.
et, par conséquent :
x = X-+-X,, (/ = Y-+-Y,, r = Z-+-Z,. Il est clair que l'on a
X = /-(Z), Y = (p(Z); Xr=f\{Z). Y,=(p.(Z,).
Construisons les courbes AB, A|B,, représentées par ces
équations ; prenons un point C sur la première, et un point C^ sur la seconde.
0 étant l'origine, le sommet M, du parallélogramme consiniit sur OC et OCj, appartient évidemment à la surface. De plus, si le point C, est fixe, M décrit une courbe égale et parallèle à ACB ; etc.
Dans le cas actuel, les profils AB, A,B, sont imaginaires.
Autre addition. — (Mai 1885) (*).
VIII, A la page 1 50 de mon ancien Mémoire, on trouve, sous la forme suivante, les équations d'un élassoïde :
CCS 0 -i — ô(é'' -\- e ■■') si II 0,
sin 6 elé' -*- e ") cos 9,
puis, en note
« D'après la forme de ces expressions, il est probable que » la surface peut être engendrée par le roulement d'une certaine
» courbe la trace, sur le plan des xy, est une développante
» de cercle. »
(*) Tirée d'une leçon à TUniversité de Liège.
Si l'on (jiit
une géi)cr.Tirice de la surlace est représentée par X = A cos fl -*- Be sin ô, // = A sin 9 — WO i-os ô, z = (y — | ) o
Les deux premières formules éJant écrites ainsi :
X = B(cos 0 H- 5 sin $) -4- ^A — B) cos o, If = B(sin 0 — 0 co>ô) -+- (A — B) sin o,
on voit que x, // soni les coordonnées duii point P, défini de la
manière suivante.
Soient décrites les circonférences OA, OB, puis hât-vetoppante
FiEF ... du cercle OB.
-^' .Menons la droite OCD
l'aisani, avec OBA, l'angle arbitraire B; puis construisons le rectangle DCEP.
Le lieu du poini P, ou la projection horizontale de la généralrice,est donc une pseudo-parallèle à la développante variable
BKF. On sait que la normale, en P, est la droite PC (*).
IX. Hetnar({ue. — On a, par les formules ci-dessus, ou par l'inspection de la figure,
j^-H y«=A-H- BV= A^
ou
^■^^ tf^K'
Ainsi la génératrice, projetée suivant APQ. ., appartient à un hyperboloïde de révolution, à une nappe.
(*) Voir page \ 00.
CX^XXVIII. — <)|uelques iutég^rales défiules (*).
X. Dans un Mémoire sur les Nombres de Bernoulli et d'Enler (**), j'ai donné les quatre formules :
" «-''"'rfa ({ X*Zcoswcos(2r/ — \)cc du
/" a-''-'rfa 7 r*Zcosucos{'2q — \)cc du
Z^'' «Va 1 /^îi: coscosin(2o — \)u da
Il en résulte :
coswcos(2<îr — l)w f/w
4v / ^ "^ = / T " v-i 1LI__ ,(48)
a.^''dx f~*% cos w sin (2r/ — 1 ) « f/i
/a^^r/a /^|: cos w sin (2r/ — 1 ) « f/w
Dans (48), je fais a = ^ cet w : le premier membre devient
I j col ^
-fcoiu si 11"-''"*"' tt-
Donc »£ cos-'~' w (/&> /^£cosû3COs(2f/ — l)(i; rfw
/^ cos-'"' w «w y^i-cosûj
?c«icc -;j:coiccsin*»"'-*w / ^00! e^ -e ' J e^
ij -îîcotccsin^''"'-*cj
La même transformation, appliquée à l'égalité (49), donne cos^»« dcû /^^coscjsinlîJqr— 1)« du
/l cos^»« dcô /^^
£coti; sin^''"*"-co
(•) Suite de la Note XCIM.
(**) Académie de Belgique, Mémoires in-quarto.
{'") On ne doit pas oublier que P^,., est vu nombre entier, impair. {Note XXX IV.)
XI. (ne rectification. — Des fautes de calcul se sont glissées dans le paragraphe \ l('). lien resulie ((ue les formules (30),(51) sont inexactes.
On peut, eoninie il suit, rétablir ce para^'ra[)lie (**).
Dans la relation connue :
remplaçons les Nombres de Bernoulli par leurs valeurs, exprimées en intégrales définies. Elle devient
/•^ Tdt n
en supposant
Il est visible que
Nous avons donc, au lieu de la relation (53)
ri!r£i i/-^îi[(,^i/3ï)-v(,Krïr']
(*) Tome I, p. 596.
(*') Ce nouveau calcul, plus simple que l'autre, date de 1874.
(*•') Loc. cit.
(") Le signe -+-, si q est impair.
Soit, dans la relation (o4), t = cot cp. Elle se réduit à
^ ces*'"*'' cp - cos (i2r/ -+- l)cp r/cp 7
f " — 1 siir'-^'cp 4(7 -+- I
On a aussi (**)
21 sin 2/;cp . siii 9 f/cp 2r/ — I
('-'"'?—! sin-'+' tp 4(27 H- I)
Donc, par soustraciion,
^ coh*''"'"' Cp — oos 279 sin 9 f/9 1
,ir co, -^ , ^j,.,*,,+5 ^ 4^^^ ^ , ^^97 -+- I )
En outre,
•-Jc-os (27 — 1 19 </9
B.,, = 7 — 1 zp 47 /
XII (***). Soit
A,,.,= / cosPj-cos7J(/x('\). (59)
(') L'intégrale
ïrr I
est essentiellement positive. Donc le premier terme de l'égalité doit être pris avec le signe stipéricitr ou le signe Inférieur j selon que le nombre q est pair ou impair.
(**) Loc. cil.
("*) Ce paragraphe est tiré de mon deuxième Mémoire sur les fonctions X„ (1882, p. 20).
(") On peut consulter, relativement à cette intégrale, la IVote que nous avons publiée dans le Journal de Liotiville (t. V, p. 113); et, dans le même Recueil (t. Vlll), un remarquable Mémoire de Serret.
coi (jj = (OS (y — i)j oos X — .siii (7 — 1)x siii X, on (iédiiit
^P.» — Vf
- / vos'' X s\u {({ — I )x siii off/j".
l/inlo^ra(i()ii par parties donne
/ cos'' X *in {(f — I)x sin xilx
■o-s''"*"' X siii 7 — Ix
;> -»- I Kl comme le terme intégré est nul :
De celte relation, on conclut, facilement,
(•os,,+,, xc/x. (61)
La nouvelle intégrale est nulle si /> -+- 7 est impair. De plus, le second membre est nul, encore, dans les cas suivants :
Donc, pour que rinlér/rale représentée par A,,,, ne soit pas nulle, on doit a voir
p — q = t^rt . ii.
Quand il en est ainsi.
cos''"^' xdx
2 008''+'' xdx = 77
