D.5.7.,.2nH-i

Donc la relation (2) peut être écrite ainsi

ff'iri'f

2orw<.2«+2(

0 fl

cos"^ (p — a;"' cos''' y

CXliII. — Une formule du binAine.

(Février 1 876.)

I. La théorie de la décomposition des fractions rationnelles donne, comme cas particulier:

(X — «)"(x —hf

{a-bf'-*'{x~ a)" {h—nf\x—bf

Si ac = 0 (*), cette relation devient

[iib)

Multiplions les deux membres par (a — 6/" a"6", et changeons 6 en — 6 :

(') Les constantes «, 6 sont supposées inégales, et non nulles. (**) A cause de

( 2«ô ) Piir ('\eiii|tl<',

(a -♦- h;^=\)'2i{ahy{a -t- h) -h M\:i{u -♦- h){<ihy'{a- -f- />*)

-+- 'ilO(a -+- /»*(a/>/(a' -+- //•) -4- 84(« -4- by(uhf{a' -^- //)

-+- 7(a -t- /;)*(afc)(a'' -+- //') -+- (a -+- /;)"(a' -♦- />').

II. Si l'on l'ail b = as, el qu'on change 11 vu n -h \, on trouve

(I-HX)«- = (1 -hx)"-«(l-+-a"+')-t-C„+..,(l -+-x)-*a:(I + x") 1

-+- (;.-...»( I -+- X-)" ^xM -^ X'-') 4- ... H- (:,„,„j-". î ^

Donc, en parliculier,

(I -t-x)*=(l -+- j:r(l -t-a'') -+- y( I H- xfx{\ -+- j*) -+- 1 5(1 -+- jr)x*(l -+- r') -+-03x^(1 -+- ..-) + 70x*.

(Addition. — Mars I88(;.)

m. l/égalilé(B) peut être écrite ainsi

( I -+- x/" = (i-^Jr'-+-(;,+,.,(l-+-x)'-*x-f-(:„,,,î(I-4-x)"-V^-...-+-Ax"-'

On a, en série eonvergenie,

= (I -H x)"-' H- C„+,,,(l -+- x)"-*x-4- •••-+- Ax"- ' -f- B

(1 -+- xf

(*) A = Ci„ I, „ .

{ ) D = Cl,,,,,, C .= Cjii^.),,,, ...

De même,

(1 -♦- j)-"'+" I-hC ou

(Ih-x)"-' (i + x)"

( 1 -+- xf"

(i+x)" •+€„+,, ,(l+x)"-'-t-. -4-A-+-B hC

Par conséquent, régaliié (o) devient

"+" ^'in «Jf ?

{l-i-xf

■ ^~ '■'!!h+-!, h tt r -4- L

On a ainsi un développement de