CO

en série convergente, du moins si la variable x est comprise entre 0 et 1 (*).

Si X égale 1, là formule se réduit à

Jl ^ O

expression connue, facile à vérifier.

(*) Cette relation (C) a quelque analogie avec une remarquable formule d'Euler, que j'ai démontrée en i844 {Journal de Liouville, t. IX).

l'XI.III. *>iiii* iiiic 'st'rlc (!«' l,os<'i*4l>*<' (*)•

(/trcffnljrr 187').)

I. l'ariiii les iVotes (juc rillii.sirr Lt'i;('i)(li'e ii |tliU'éos à la suite (le sa (iéomt'trie, la plus remanjUiihle me paiail èire celle qui donne, en fraction continue, le «léveloppemenl de

savoir,

Ce développement résulte, d'ailleurs, des équations

dans lesquelles

(') Tirée, en partie, des Notes d'Algèbre et d'Analyse; eu partie, <lu Bulletin de l'Académie. (Janvier 1876.)

(••) La formule (-i) est l'égalité (l), mise sous forme abrégée.

( 206 ) II. Chanajeanl de notation, soit

^^ ' ^ \.k l.i>./c(/£-+-1) I.2.5.A(Ah-1

J(fc-t-2)

Pour évaluer y, ou sommer la série, prenons la dérivée de a*"*?/ :

Multiplions par x^''' les deux membres de celte égalité, et prenons encore les dérivées ; nous aurons

[x-'" {x'-hj)']' = 1 -+-

ac'

xy" -*- ky' — .y = 0.

Telle est l'équation qui, intégrée, ferait connaître y III. On tire, de l'équation (6) :

La relation (4) devient donc, après le changement de notation,

ou, ce qui est équivalent.

ly. Lorsque A=^,

(j-^»^^ (.-'îy^

(*) Cette équation (10) se rattache au Calcul des différences mêlées, dont Biot. et d'autres Géomètres, se sont occupés au commencement du siècle. (") Legendre, Élémt-nls de Géonu-lvic (1823), p. i>91.

I/(V|nah'on (*J) dcvieni

I ftw . ^-iv;

Le sfcoml meinhii' esl la dt rixéo tlo

^îV.^^-«V/x

(loue

doit satisfaire n r(W|iiatinri

C'est ce qui a lieu. Connaissant cette intéf/rale particulièt^e, on trouve, sans peine, rihtvffrale ffoncrafe :