IV. Si V = 0, l'équalion se réduit à

Rdu -t- i>j\[f/r = 0. (7)

Posons, comme ci-dessus (p. Il), R = — 2i\l cot cp. Alors,

^ = tgî. (8)

AMB étant une trajectoire orthogonale quelconque, soit MG la génératrice qui passe en M. Considérons, dans le plan tangent

(*) Page 6, formules (3).

('*) d« = 0, ou M = const., représente une génératrice. (***) Celte équation (5) n'est pas généralement intégrable; mais on la ramène à une équation linéaire : i» lorsque R = Oj S" quand on en connaît une intégrale particulière. (Mai 1885.)

gB T

GMT, la tangente MH à la seconde ligne asymptotique, et les tangentes ME, MF aux sections principales : ces deux dernières droites sont les bissectrices de GMH et de son supplément.

A l'inspection de la figure, et d'après la formule (8), HMG=.p.

Quand il s'agissait des sections principales, nous avons trouvé (p. M) :

du 1

dv-'^-l"^^

— cot - (p

Il est clair que ces trois résultats s'accordent.

En résumé, la recherche des lignes de courbure de S se réduit à l'intégration de l'équation (S), beaucoup plus simple que l'équation (16) de la Note précédente.

XCT'III. — Déterniiuatiou d'une constante. (1876) f).

I. Dans son célèbre Mémoire sur les intégrales définies eulériennes (**), Binet forme, très péniblement, l'équation

2 f . r(2x) = (— d -+- 4x) Jp. (2x) -+- J^{<i>^) — 4x -t- 2^2x); (I)

d'où il aurait pu conclure

M. Bertrand, par un procédé tout autre, a déterminé cette

(*) Cette Note est tirée du Mémoire intitulé : Recherches sur la constante G, et sur les intégrales eulériennes.

(**) Journal de l'École polytechnique, 27« Cahier, pp. 240 et 241.

valeur; mais sa nirtliode rsl un pou lonf;no. Voici ct'Ik- (|ue jV'Xpose dans mon Cdurs (*).

Soit, siiivntit mic iiotntioii souvent oniplovée,

On a, par une formule connue, dont la véiificalion est facile :

9'(x^1)=^.x-.--./ (--— --je-c/aD; (4)

et, en conséquence,

(p(x -f- l) = h -+- x^.ar— X -h-^.xh- ct(x);

OU, plus simplement,

(p(x) = A- -H ( X ) -l^- a: — X -f- ct(x) : (5)

A- est la constante d'intégration, qu'il s'agit de déterminer, La formule de Legendre :

équivaut à

9(2x) — ©(x) — cp fx -4- -j = (2x — 1) -('. 2 — - -C. T. Or :

cp^x -+- -j = A -H x-i . I^o; + -j -X - - + ^^x -+- -j. (p(2x) = A -+- (2x — -j 4^ (2x) — 2x -+- ct(2x); donc le premier membre de l'égalité (6) a pour valeur :

A -4- (2x J4!'.2-t- X-(^ H- -t-CT(2x) — ct(x) — ct(x-4--|'

(*) Plus exactement : que j'exposais.

(**) A la page 17 du Mémoire cité, on a imprimé clx au lieu de da.

Après quelques réductions, cette égalité se transforme en

Si l'on fait croître x indéfiniment, le premier membre tend vers ( — k) (*).

Ainsi

et enfin, au lieu des égalités (1) et (5) :

II. Remarque. — Au moyen de cette formule, l'égalité (6) se transforme en

.(2x) - .(x) - - (- - ^) = - -^ (^ -*- ^) - ^ n- (8) (*) A cause de

('•) A la page 224 du Mémoire de Binet, on lit :

Il 1 ,

eic. »

2('2p -+- 1 ) 2 . 5(2p -t- 1 )2 3 . 4(2p + 1 f Avec notre notation, cette égalité devient

La somme de la série est

1 — 2x JMl H

Donc, la formule (8) ne diffère pas, au fond, de celle de Binet.

Addition. — (Juin 188;).)

II. La Innmile (8), (|no Hit)el n'a pas fonnclleineni imliqure, (Si (Jonc uru' Iracdictiou du ihéorùinc de Ij'jit'iKir*'. Si l'on remplace la fomlion tï7( y), de lîinvt, piir sji v.ilmr :

le picniior membre de l'cgalilc (8) devient

iirc l^ arc t^ arc ti;

Au moyen d'ime iranslbrmalion bien connue, la quanlilé entre parenthèses se réduit à

— arc tg

Conséquemment,

r-'^ db

I — — =-! — 'ii^c t,n

4x' -t- ^ix- -+- S*

d', (Gx^-^-x H- 2^3^)3 I I /

relation (|ui ne diffère, qu'en apparence,du théorème deLegendre.

IV. Elle est en défaut pour 3c = 0. En effet, d'après cette hypothèse, on aurait (**)