I -vV- — arc tg (2S

(*) liecherchcs sur la constante G, et sur les intégrales eulériennes, p. IC. (**) Si l'on fait x=:^ -, le dernier terme devient

,-ei'*?

et il est visible que la fraction tend vers zéro, quand z croît indéfiniment.

( 18 ) Or, le premier membre égale

Voici, je pense, la raison de celle anomalie, x élanl supposé positif (*), les formules

^(x) = cp(x) — k — ix — -j J'. X -+- a-, (a)

sont équivalentes. Pour x = 0, elles donnent. Tune et l'autre, zui^x) = 3C . Néanmoins, elles ne s'accordent plus. En effet, il résulte, de la première,

r.{x)~u{'2x) = ^{x)-o::2x) - (x-i) J^.x-^ (-•"- ^) -fC^^)-^'

puis

lim Ux) — 7:T(2x)] = lim[(p(x)-cp(2x)] + x4^*.x-i- (^^r — -j J^.H — x

= lim[cp(x)-cp(2x)]-i-C.2n; ou, par la relation (6) :

lim [4x) - 42x)] = i J^. . -. i J\ ^2 - ç (i^ D'ailleurs,

.fâ = -C-r(l) = l4:..

donc enfin

lin,[.(x)-^^2x)]=lf.i>. (Il)

(*) Cette hypothèse est celle tle Binet. (**) X j^ . X = 0 pour x = 0.

( 19 ) Prenons maiiilenanl hi roiiniilr (lO). Elle donne

a(x) - u{-2x) =y -^^^— j ^aiT l^ - - are Ig

- 'u ou

v\, par conséquent,

Iim[o(a:) — o(2x)] = 0; (12)

ce qui est contradictoire avec la valeur (1 1).

Si Ton adopte celle-ci, on trouve, au lieu de l'égalité (9), dans ln(|uclle on ferait x = 0 :

et ce résultai ne diffère pas de la formule (2) (*).

(*) Ce n'est pas tout. Pour passer de la première expression de ct(j;) :

à la seconde

Binct emploie, très heureusement, la formule

sin ;3a i e^- -i-\ \

e2T,3 1 4 t"^ — 1 ia

due à Poisson ; après quoi il met rs(x) sous la forme d'une intégrale doublej etc. Or, ces diverses transformations, légitimes tant que x est positif, ti'ont plus de sens (|uand a; = 0. Aussi, Binet a-l-il constamment écarté cette dernière hypothèse.

(20 ) V (*). D'après la relation connue

il est clair que : ù x est commensurable. la différence 9'(x) — cp'(' ) est réductible à rintégralc d'une différentielle rationnelle (**).