II. Celles-ci peuvent être écrites ainsi
.X = - o(3 cos cp -t- 5 cos (p — 4 cos' 9) = - «(3 cos cp — cos 39) ,
?/ = - «(5 sin cp -t- 5 sin 9 — 4 sin^ 9) == - «(^ sin 9 -h sin 39); o 8
ou plutôt de cette manière :
a da a 3a
^ = — gCosô9-t- ycosç, y = - sin 39-+- y sin 9 0- (2)
Sous cette forme, il est aisé de reconnaître que la développante B est, comme la développée A, une hijpoqidoïde.
En effet, supposons qu'une circonférence 0', dont le rayon est R', roule à l'intérieur d'une circonférence 0, ayant pour rayon
C étant le point de contact, soient C'O'OA = 9, C'O'P = 49 : le lieu du point P est une liypocycloïde dont A' et B' sont deux rebroussements.
(*) Par suite d'une faute de calcul ou d'une faute d'impression, les formules analogues à celles-ci, rapportées dans les Comptes rendus, sont inexactes; mais nos conclusions subsistent.
Un point (jUolcoii(|iic (le la ciii-oDlV'rLMice ()' décril une liypocycloïde égale n la preniiore. En parliculicr, le point M, diamétralement opposé à P, en décrit une (pii passe an nn'licu I de Taie \'li. delà posé, si l'on apj)elle \, \ les eoordoimées rectaiijiiulaires de M, on a :
X = ûir cos 9 -+- U' cos (9 -4- 7T — 4(p) = U'(ô ces cp — cos ôcp), ) Y = 5R sin 9 -+- R' siii (9 -+- 77 — 49) = R'(ô sin9 -♦- sin 09) ; )
ou
, à cause de R' = ^
III. l'oin- avoir l'équation de la développée, sous la forme F(X, Y) = (), il faudrait éliminer 9, entre les formules (5). Nous allons eireciuer, indirectement, cette élimination.
Prenons 01' pour nouvel axe des abscisses ; cl appelons />, q les nouvelles coordonnées de M. D'après les formules évidcnlcs
p = R' \ /- [ô(cos 9 -4- sin 9) -+- ( — cos 09 + sin 09)], (j = W \ / - [3(cos 9 — sin 9) — (cos 09 -+- sin 39)] .
On a
\/zy (^os o + sin 9) = cos (? - ^] '
\ /-( — cos 59 -+- sin 09) = cos (59 — 5 - K
— ■ \/ - (cos 09 -4- sin 09) = î=in (39 — 5 - 1 ; donc /> = R' 3 cos 1 9 j -+- cos (59 — 3 - 1 = 4R' cos' (9 ]
9 = R' — 3 sin (9 — - J -t- sin f 59 — 5 - J = 4R' sin' 9
( 214 ) puis
puis encore, par les formules (4) :
ou, ce qui est équivalent
{x-^yf-^{x-yf-=J-a'n. (7)
K2 Tel est le résultat cherché.
