IV. La tangente T, à l'hypocloïde A, est représentée par

CCS cp sin 9

Les développantes de A sont les trajectoires orthogonales de T. La condition lYortliogonalité est

dtf

dx ^^

Donc l'équation différentielle de ces trajectoires serait X y "

(ly (Ix \/ dx^ -+- dy"ou

dx a

dy I

drjl

D'après la remarque faite dans la Note XX (t. 1, p. 54) (**), une intégrale de cette équation (9) est l'équation (7).

(*) On conclut de cette équation, en élevant deux fois au cube :

[a* — 4 a;^ -t- tf)]'^ = lOSa^a;^ - y',K (*') Et, antérieurement, dans les Comptes rendus.

V. Nous pouvons résumer, rorninc il suit, Its rcliilions (|iii cxislcnl cuire rhypocyeloiile A, ses parallèles, lliypoeycloïde U et ses parallèles :

1° De même fine la courbe A, et ses fuirallvies, sunl les enveloppes (Vunt' série de droites parallèles entre elles, et dont l'une, a fiant pour longueur a, fjlisse sur les côtés d'un auffle droit; les développantes de ces courbes so)it les f)iielopj)es d'une seconde série de droites parallèles, dont l'une, ayant })(tur lonr/ueur ^, fjiisse sitr les bissectrices de l'angle droit ;

2° A chagne courbe de la première série correspond, dans la seconde, une courbe semblable : le rapport de similitude est z (*)•

C'^IiVI. — Kiir l<'K li^siiCM «le etiiirbiirc <lc l'cllipKOi«l<' et de la Murfaec «le» wnile»» (**).

I. Si l'on représente par /, ni, n les cosinus dircctifs de la normale mn en un point m d'une surface s, et que Ton adopte les notations employées dans la Note LVIII, les lignes de courbure de s seront représentées par

dx (lin dz udu dl dy dn dv

Soient, comme dans le Mémoire sur une transformation géométrique et sur la surface des ondes, a, (3, y les cosinus dircctifs d'une droite OA, perpendiculaire au plan Omn. Posant

tiy — mz Iz — «X mx — ly k

puis, au lieu des équations (1) :

(•) Voir la IVole CXXIII.

(**) Communiquée, en partie, au Congrès de Paris (24. août 1878).

-H V^tr

on trouve

( 216 ) II. Ellipsoïrfe. — Dans le cas où s est un ellipsoïde, on a

u' -^~- {If- -^ C-)

mi — mz viiz 1 \ \\ Donc :

vxyz ^ / 1 1 \ 1 MvV?/ — liVdv

2i llî k^}~^iï^

k ^ W IrJ a' kV -K (/)- - v^) {c' — v^) ' ou bien :

y adx = — - — > h^Ur — en ■ . (7 )

^ uVcrk^ ^ ' k'v'-^{lr-^-v')[r—v'} ^

^ a'bVk ^ ^ ^ k'v' + (6'^ — v') {c' —v') ^ '

Si l'on désigne par ç le premier membre de l'équaiion (4), on a

ly = 2 a-(//^-c'^)(wîr\/«-6V(/i;)[Fv^-+-(c^-v^)(a^-v')][^V+(a'^-î;^j(6''-r^)] J (9)

(*) i\olo LV'III.

(**) Mémoire..., p. 5.

(***) Le coeflicicnt de dv est nul.

( 2\7 ) III. Suilv. — Soient, pour abréger :

P = 2 "V'*— c*)[*VH-(r-i;-)(«*-v')l[A-i;'-+-(a-'-t-j(//'— ri],

nlors l'égalité (9 ) prend In forme :

Pnydii — irIrrOtIv