VO
Il s'agit d'évaluer les sonnnes P, Q, Q'. Chacune est réductible à la forme
Or, on trouve aisément les valeurs suivantes. I" Pour P :
B = i'^ 2 (/''— '■')a*((r— 0(/>'+c-— ^i»;*) = (fr — //)(6^— c-)(r— a*)rS C = (a*'^ t'*) (// — v'} (c- — r*) 2 C^' — 0«'(«' — ^')
2° Pour Q :
C = (a* fî) (// — r^j (t- — u^j 2 e»' — c') {a' — v') = 0 ;
3° Pour Q' :
A = 1-* 2 C^' — c') '/'c-' = — (a- — 6') {Ir - c^) (r — a^) i'*,
= (a* — L^){b' — c-)(c' — a*)i;*(rt^ + // h- c^ — 2v^),
Conséquemment, si Ton fait abstraction du facteur
on peut prendre :
p = /..îy* («^ v') {h' — v') (c- — v') ,
Q'=[— )tV-t-/c^(a^-4-/j^-HC^— 2i;-)i;^H-(a^-v^j(/>^-u^)(c^-u-)]vl
Par suite, après quelques réductions,
M^ khiv^du — (a^ — i;^)(6'^ — v''){e' — v'^)nvdu — k^ci^f/c'dv ^^'^' lêii^ry'du — [a' — ir) {()' — u' ){c^ — ti^dv — K'd'b'âdv ' ^ ^^
Relativement aux coordonnées podaires u, v, l'équation différentielle des lignes de courbure est donc
k^uv^du — [u' — i;'')(f/ — v']{c' — v'')avdu — k'aHrc'dv vdu khcv^'du — {ie — u''){\)' — ir){c'— u'ydv — k\(Vc'dv ^ wTv ^
Chassant le dénominateur, ordonnant, et supprimant un facteur, on trouve
uWdu' + uv\ir — u' ~b' — c')dudv -+- a-b'âdv^ = 0; (15)
résultat connu (*).
IV. Stirfaces conjuguées (**). — L'équation des lignes de courbure d'une surface s étant
2*'^-^ udu
y adl dv
celle des lignes de courbure de la surface S, conjuguée de s, sera
2at/L
Or (***),
vx — lu'
dv
X — Iv
(•) Note LVIII.
(**) Mémoire...^ p. 1.
(***) Mémoire..., pp. 5 et 6.
' ( 219 ) Il rêsiille, (le ces valotirs :
k y a(l\ = I V ar/x — ir ^ onU ['), )
^i tm^ ^ ]
Désignons para' le premier incnihio de I t'(nialion(l()j. D'après les deux dernières lornuiies,
D'un autre côlc, réqiialion (16) devenant
rcp — //' \u\h
il résulte, de eelleei :
vdu — iidv
uau — r(/u
On a ilone ce théorème :
La même fonction (p, éfjalc à u ^ pour les lignes de courbure de s, devient égale à u^^~~j^pf>w^ /*■« lignes de courbure de S ;
C) On a
k{vdx -+- a;dv — u*dl — iludu) — {vx — lu^)dk
(iX = ;
donc
A^ "S jzdX = \ (hj/ — m3)(vda; -+- xdv — uHl — 2ludu)
dk v<
et, en négligeant les sommes évidemment nulles :
k* > ad\ = f \ {ny — 'mz)dx — u'^ > (ny — w:)d/ ,
ou
A- "S »d\ = t' > c^.dx — ir y xdl. éLd ^ ^
Ainsi u, v, k se coviDorlent comme des constantes.
Le développement de k^adL donne lieu à la même remarque
ou, ce qui est équivalent :
La même fonction cp, égale « u ^ pom^ les lignes de courbure de s, devient égale à u „j"~"jy pour les transformées, sur s, des lignes de courbure de S.
En effet, un point M de S, et son conjugué m, ont mêmes coordonnées u, v.
V. Remarque. — L'équation (19) étant syméirique par rapport aux fonctions ç, <i>, les lignes de courbure de s sont représentées , indijféremmen t, par
udu vdu — udv
av udu — vdu
et les lignes de courbure de S, par
udu vdu — udv
<1. = ' rsi = u
dv ' udu — vdv
