VI. Surface des ondes. — Soient, pour abréger

U^(îr— a^)(îr — 6^)(m-— c^), Y = {v^—a'){v' — b'){v' — c''). (21)

Dans le cas où s est un ellipsoïde, nous avons trouvé (ÏII) :

ir h^uv^du -4- Wuvdu — K'a^lrcdv V k^u^v^du -+- \]v'^dv — lâa'b'-c'dv

Donc les lignes de courbure de la surface des ondes sont représentées par l'équation

u {k'v^ -+- \)uv(lu — k'à^b'c^dv vdu — udv V khi^v^du -*- (liv^ — k^arb'^c^jdv udu — vdv

que l'on peut réduire à

V M V/m' — [{Uv' + V« -) r -^ k\a-b'r—u-v']] dudv -^<- \]uvhh' = 0. (22)

Celle-ci, dont la forme est syméirique, parait néanmoins difficile à intégrer, même quand l'ellipsoïde .s se réduit à un cylindre ou à une ellipse (*).

(*) Dans ce second cas particulier, la surface S, représentée par (a«a;* h- bhf) {x^ -f- /y- -+- ^-) — a^^x'- -+- y"") = 0, est une cyclotomique à directrice rectîligne. (Note XLl.)

\ II. Phoblème. — (hi mène, dans ht sttrfatr des ondes, (), kh demi diamèlrc s, parallèle à une normale mn ri rellipsoïde E, eonjufjtte de (). (Jitelles sonl les valeurs de s ?

Les coonloiinét's du poiiil iriiilcrscclion , G, sont

/jn

ls = — s,

vy

vz

ns= — s ;

donc, à cause de la condition connue

la (juaiitiié s^ est racine de l'équiiiion

que l'on peut remplacer par

ou encore, par

Le point wj est situé sur i'Iiypcrboloïde G, représenté par

ir — <f

Ç) Celte équation, jointe à

X^ + V^ + Z^=:sS représente la surface 0.

donc réqiiation (25) esi vérifiée par s- = (p-; et, conséqiiemmeni, par s'^ = f)^, h éiant le paramètre du second hyperboloide H, homofocal à rdlipsoïde E, el passant au point m. On a donc ce (héorème :

Soient m un point de l'ellipsoïde E, et g, li les paramètres des hyperboloïdes G, H qui se coupent en m, et constituent, avec E, un si/slènie triplement orthogonal. Si, par le centre 0, on mène une parallèle à la normale, on m, à E, et que l'on prenne, sur cette parallèle, OG = g, 011 = h; les points G, H appartiennent à la surface des ondes, conjuguée de E.

VIII. Corollaire. — Si le point m décrit une ligne de courbure de E, représentée ])ar g =^ const., l'un des deux points correspondant à ni décrit, sur 0, une conique sphérique : le rayon de la sphère est g.

En d'autres termes :

Le cône C, do)it les génératrices, passant par le pôle, sont parallèles aux normales à rellipsoïde E, menées en tous les points d'une ligne de courbure, coupe, suivant une ligne sphérique, l'une des nappes de la surface des ondes : le rayon de la sphère est le paramètre de l' hyperboloide sur lequel la ligne de courbure est située (*).

IX. Considérons l'ellipsoïde E, Thyperboloïde G et le cône C dont la directrice est la ligne de courbure L, intersection de E et de G. Les équations de ces surfaces sont, respectivement :

(*) Celle proposiliou complète, nous semble-t-il, un théorème de M. Mannhoim : « Sur la surface de l'onde (S^) dérivant de E, la transformée >' d'une ligne de courbure de cette surface est telle que les normales à (S^) « issues des différents points de celle ligne sont respectivement perpendi- " cataires à des diamètres de (SJ égaux entre eux. t> (Congrès du Havre.)

Soiiiil .N,, >,, .N, k's lii)is iiuiiiiitli-s, ;iu point ///. Kii (lésijjjiiant

|)!U- ]> lii (lislaiH (• (lu centre au plan lan^icni, en m, à lliyperboloïde, un trouve :

cos(N,,NJ =

Prenons, pour pian de la fii;nre, celui qui est normal, en m, à la liiîtie de courbure. Supposons le centre 0 projeté, en n et en A-, sur les norinahs N„ iN, : nm = r, niL—p. Si l'on achève le rectangle, on a

ces Omli

cos 0»!?/

donc la normale IV^, nu côna, est perpendividaire à Oni,

Celle sim[)le remarque donne lieu au théorème suivant, qui

complète une proposition due à Lamarle (*) :

1" Si, par le centre 0, l'on mène des plans P, parallèles aux

plans tamjents à reUipsokle E, en tous les points d'une ligne de

courbure L, le cône C, enveloppe des plans P, coupe E suivant une

ligne sphérique : le rayon de la sphère est le paramètre g de

l'hyperboloïde sur lerpœl la ligne L est située ;

2" La génératrice de contact, entre le plan P et le cône, est

parallèle à la normale N^ à l'hi/perboloïde (**).

(*) Si du centre 0 de (E) on mène des plans tamjents à celte surface menés « des différents points d'une ligne de courbure (m), ces plans enveloppent nu n cône du 2* degré qui coupe (E) suivant une ligne sphérique. » (Mannheim, Congrès du Havre.)

{") M. Mannheim a déduit son théorème de celui de Lamarle. Du reste, les deux propositions n'en font réellement qu'une, en vertu du Lemme suivant :

Soient une surface développable X et un cône ^, , ayant leurs génératrices respectivement parallèles. Soient, sur ces deux surfaces, L, L, les trajectoires orthogonales des génératrices : les tangentes MP, MiPj, en deux points correspondants, sont parallèles.

CXIAII. — Sur les surfaces enveloppes.

(Février 1875.)