I. Soit

réqualion irune série de surfaces données; a, h étant des paramétres variables, indépendants l'un de l'autre. Pour trouver lequation de Tenveloppe, on doit, suivant la règle ordinaire, éliminer ces paramètres entre l'équation (1) et les équations

df (lu dh

On peut opérer d'une manière un peu différente.

II. Si Ton éliminait a entre les équations (1) et (2), on trouverait une équation

représentant (pour une même valeur de b) une enveloppe des

surfaces données; et, si Ton éliminait 6 entre cette équation (4)

et'^=0, on obtiendrait l'équation d'une surface 2, enveloppe

d'enveloppes : je dis que^ est la surface cherchée.

Au lieu d'éliminer a entre (1) et (2), regardons a comme une

fonction de b, définie par cette équation (1). L'équation (1) prend

la forme

Par suite, 1^ = 0 est la même chose que

db da db

Cette équation (5) est une conséquence des équations (1), (2); donc les systèmes :

da dh

df df dfda

' da ' db da db sont équivalents.

C'I^liVIll. — Problème «le quaflrudirc.

(Juin ISTo.) On donne un parabotuïde de révolution, représenté /mr

= "lux.

Sur le cercle osculuteur, en 0, à la section méridienne OG, on construit le X cylindre OABz, dont l'équation est

Trouver l'aire A de la

DEMI-FENÈTRE 01)I3C (*).

I. En employant les notations habituelles, on trouve aisément

dx\/a*-h2ax / -^ (1)

J V^ax-f

L'intégrale relative à y est

arc sm

V±ix

Rntre les limites données, elle devient arcsin |/^^- Donc

dx \/a -t- 2a; arcsin

(*) Ce problème, aualoi^uc à celui de la fenêtre de Viviani, a été traité dans une leçon à i'Lniversilé de Liège.

( 22(i ) Pour réduire aux intégrales elliptiques, je pose

De là résulte A

x = (i{\ — -sin'9)n.

sin (9 cos* Qdô arc sin - 1/5 sin 9 \2

sin (U = \/ - ■ II. L'intégration par parties donne

/ sin ô cos'' erfe arc sin I - [/ô sin 6

cos^éarcsin ( -1/5 sin^

'' cos* ede

y 1 — îsin"

cos'* 9(/ô

in- 5

puis

en supposant

A = an B,

cos* ôdd

1 sin^