III. Soit, généralement
cos* ede
/cos* e(/9 /^' rfô /'• — = a(A sin 4 cos 0) H- (3 / — H- - / Ac?^ {*•),
(*) Résultante de deux transformations très simples. (**) Ceci est l'artifice de Legendre (Foîictions elliptiques, t. \, p. H), un peu simplifié.
1 — 2 sin^ 0 -*- sin* 9 = a(l— rsin'9)(!— 2sin*fl) — «c*sin*ô(l — sin*4)-^S-+--(l — sin*9).
Eu idontiiiant, on trouve
ei, si c' = f :
Ainsi K
puis
= - sin ^ ces fx y/ I — - sin- f* — :^ l'V) -»- ^ K(p) = i[4-+- l(JK(u)-F(f.)];
A = - ^ «* -+- ^ a^ ^- ^ [ 1 6 EH - F(.a)]. (7)
CVIilX. — ^iir lefi podaires.
(Juin 1875.)
I. Élément de la podaire. — Soient, sur une courbe donnée, C, M, M' deux points infiniment voisins. Soient P, P' les points correspondant à M, M', sur la podaire CD de C, relativement à un pôle 0. Désignons par w le rayon vecteur OM, par E l'angle de contingence en M, par da l'arc infiniment petit PP'.
Si l'on mène MR parallèle à la tangente JM'T', la distance RP', entre ces deux droites, est un infiniment petit du deuxième ordre. Donc nous pouvons supposer (/o-== PR.
Pour évaluer la longueur PR, j'observe que le quadrilatère
OPRM, ayant deux angles droits, en P et en R, est inscrit à la demi-circonférence décrite sur OM comme diamètre. Ainsi
u PIR
PR = 2 - sni = u sin t ;
ou, en négligeant le troisième ordre,
PR = ue.
La formule cherchée est donc
(la = î/f ;
ds
Celle-ci exprime que : Vêlement de la podaire est à l'élément de la courbe primitive, dans le rapport du rai/ on vecteur au rayon de courbure de celle-ci (*).
