Soit

Addition. — (Novembre 1881.)

P = fH

l'équation de la podaire, Legendre a donné cette formule remarquable

ds = {p^p'yhn, (4)

(') Traité des fonctions elliptiques, t. III, p. 888.

(") Nouvelle Correspondance mathématiquo, t. II, p. 175.

( 2iJi) ) donl la démonstration est facile (*). D'ailleurs, ilui = î; done

III. Remarque. — On doit, à M. (îhf.f.n, cette autre expression

du rayon de courbure :

uilu

Il est aisé de ramener l'une à rautrc. Kn eflVl, d'après une propriété connue, sur laquelle mous allons revenir :

donc

etc.

vdu = ipp' -t- p'p")da = (p H- p")dp;

IV. Podaire de la développée. — On sait que la normale PN, au point P de la podaire, est l'hypoténuse du triangle POiS, dans

lequel ON = p'. En outre, celte normale est la diagonale du rectangle MPON ("). Donc MP =/)'. De plus, le lieu du point J\,

(*) Celle de Lcgendre est trop compliquée. De plus, rUlustrc Géomètre ne semble pas avoir aperçu la relation (5). (**) Bulletin de l'Académie, février 1869. (***) Nouvelle Correspondance mathématique, t. II, p. 175. (") Cours d'Analyse, p. 547.

projection de l'origine sur la normale à C, est la podaire de la développée de C.

V. Centre de courbure. — D'après la formule (5), il suffît, pour trouver le centre de courbure de C, de prendre NI=/;" (*).

VI. Relation entre trois aires. — Supposons que la courbe C soit fermée, convexe, et qu'elle renferme le pôle 0. Appelons C, P, N les aires des trois courbes. Il est visible que

c=-j p,h, ^=-j fd., N=-y p'\u.

A cause de la valeur de ds (4) :

Le terme intégré est nul; parce que p, p' ont mêmes valeurs

aux deux limites (**). De plus, le troisième terme égale ( — N).

Donc

Ainsi : la surface de la podaire équivaut à celle de la courbe primitive, aufjmenlée de celle de la développée (***).

(*) On peut observer que le lieu du point N est, à la développée, ce que la podaire est à la courbe primitive C. Donc, à cause de xON = &)-+- const., la relation MP = p' entraine celle-ci : NI = p". Celte démonstration de la formule (5) nous paraît fort simple.

(**) Cette remarque a été faite, autrefois, par M. Ronkar, aujourd'iiui Professeur à l'Université de Liège.

('**) Autrement dit : la couronne comprise entre la courbe et sa podaire, est équivalente, en surface, à la podaire de la développée. Par exemple, la podaire de la développée de l'ellipse (Tun des foyers étant pris comme pôle) a pour mesure naia — t>j. (Septembre 1886.)

Autre addUion. — {Avril 1880.)