VII. Transformée d'une jiodaire. — Soient mu' coniiK' ACB cl

sa poilairc DPE, relaii\enienl à un pôle M. lùirnulons la figure sur une surface développable 2, de manière que ACB devienne A^C,B^; etc.

Les droites MC, CP, MF sont remplacées par des lignes géodésiques M|C, , C,P, , MiP,. MPcst le plus court chemin de M à la tangente CP; donc M,Pi est, sur 2, le plus court chemin de M, à C,Pi; et Vangle M, Pi Cl est droit (*). On a donc ce théorème :

La transformée, sur une développable 1, de la podaire d'une courbe plane ACB, relativement à un point donné M, est le lieu du sommet de l'angle droit d'un triangle MiP^C, formé par trois lignes géodésiques, et dont le sommet M^ est fixe, tandis que le côté C|P, est tangent au côté A,B,, transformé de AB.

VIII. Remarque. — Si AB est une ellipse, dontM soit un foger, la courbe D,P,Ei est une transformée de circonférence (**).

(*) Cette proposition, à peu près évidente, est démontrée dans le Calcul des variations, de Moigno et Li.ndelôf. Elle est d'autant plus remarquable que, dans la transformée plane d'une figure tracée sur une surface développable, les angles ne sont pas, généralement, égaux aux angles primitifs.

(**) La question des transformées de podaires est liée à celle des développantes. On peut consulter, sur ce sujet, notre Théorie analytique des lignes à double courbure, pp. 61-65.

Cli. — IJii tliéorèiue d'Ampère.

(Septembre 187S.)

« Si l'on réunit toutes les fractions continues qui, réduites » sous la forme la plus simple, donnent s pour somme de leurs » quotients entiers, le nombre de ces fractions sera égal à 2'~*(*). »

Le dernier quotient entier (ou incomplet) ne pouvant être 1 (**), à moins que la fraction égale 1 , la question ne diffère pas de celle-ci :

Combien l'équation

Xi -^- Xi -^- Xz -^ •'• -t- x„ = s

admet-elle de solutions en nombres entiers, avec la condition que x„ surpasse 1?

Soit A, ce nombre de solutions.

1° Il est visible que Aç^=\.

2° Des identités :

s = s = 1 -f- (s — 1) = 2 -4- (s — 2) = ... = (s ~ 2) -4- 2, on conclut la relation

A, = 1 -4- A,, -H A,2 -+- ..• -4- Aa; puis, de celle-ci :

A,i = 1-4- A,2 -4- ••• -4- Aj.

Donc, par soustraction,

Ainsi, les nombres A,^, A3, ... Aj forment une progression, dont la raison est 2. Et comme Ag == 1 :

(') Correspondance mathématique de Quetelet, t. IX, p. 14b. Cet énoncé n'est pas très clair. Voici comment je l'interprète : Combien y a-t-il de fractions continues (de la forme ordinaire) dans lesquelles la somme des quotients incomplets soit s?

(**) En efifet,

Clil. — Nur loK fl^Tlv^'CN d'nnc ffk*aetioii.

(l'cvher 1876.)