XCIX. — Snr les ligues «le courbure de l'eliîi»soï«le

{Août 1868.)

I. Si ?. et p. sont les parannètres des hyperboloïdes homofocaux avec un ellipsoïde donné, les lignes de courbure de celte surface sont représentées par 1 = const., i).=const. Si donc Ton part d'une équation de ces lignes, ayant la forme

kdir -4- B(/*/f/t; -t- Cdv- = 0 , (1 )

et que l'on effectue le changement de variables, on devra trouver, comme transformée de l'équation (1),

d\ .df^ = 0. (2)

IL Supposons, par exemple, que u soit le rayon vecteur et v la distance du centre au plan tangent. L'équation est alors (") :

trvhlu- — uv'\a- + Ir -+- r — ir)diidv -+- a'^b'c'dv^ = 0. (3)

(') Supprimé, en partie, dans le Mémoire de Saint-Pétersbourg.

(") On lit, dans le Calcul intégral de Bertrand (p. Vô^) : « Gaiiss a montré » très élégamment que la fonction ■f{x) peut se calculer sous forme finie » toutes les fois que x est un nombre rationnel «. La proposition énoncée est fausse. Quant à la démonstration de Gauss, elle est longue, difficile et obscure.

(***) Complément des Notes LVIII et LXl.

{"} Tome I , page :227.

De plus :

Au

«'t, par conséquent :

ahc

udii = — (Xilx -+- fj-du), dv = (p'^^' -*- ^•</a')'

Au moyen de ces valeurs, rrqnnlion (3) devicnl i -+- ^

(A<// -+- ,ud,u)' (>rf>. -+- ^fZ/x) [fid/. -+- ;.f/^) H- (,a(/A -+- /r/,u)* = 0,

OU, après quel(|U('s réductions,

(A- - u-fdxdf^ = 0; (5)

conformément à la remarque ci-dessus (1).