L . (uvf~^ . . dudv v{\-\-x) — w(1 — X

puis, au lieu de la formule (3) :

d"ij 1

QD »

l^^^^^]'rfJ^(i-xY-^"/ / ^''""""W''N'-^^)-"(^-^)]"^^"^'^'- (^)

Le terme général de la puissance n'*"* est

(— 1 j''î/''i;"-P(l — jr)''(1 -f- x)"

( 234 ) Donc Tégalité (4) devient :

(i xY+"^o r(»+i)r(w-p+i)./ J

L'intégrale double, considérée comme le produit de deux intégrales simples, a pour valeur

r(^ -t- •p)Y{k H- n — v)= r(2/c -4- n) f (1 — ey+''-M*+'-''-*de

= r(2^ -t- w) / (e — ey-'(l — ô)''e"-"d9.

Nous avons donc, au lieu du second membre de la formule (o):

-^ol (p -+- 1)1 (w — yj -t- i) La quantité ^" représente le développement de

[('1 -t- a;)5 — ( I — x)('l — e)]" = (2e — 1 -t- ac)". Par conséquent,

rr(OT ^ = ^^^^ '^ ""^ A" (e - «')*-' (2ô - 1 + ^)"rfe f). (6) ■- ^ ^^ dx" (1 — xj^"./ ^

IL Posons

dx" (1 — x^)*+"

P„ est un polynôme entier, du degré n, déterminé par la formule

P ^l^^t:^ /"'(e — sY-*(2ô — 1 -H xWfl. (8)

(*) Très probablcmcnl, le calcul précédent peut élre abrégé; mais peutêtre, en l'abrégeant, le rendrait-on moins simple.

Pour la simplifier, soit fait

:26 — I = cos (p On trouve, par un calcul facile, 1 ïi'ik -+- n)

2"-' [Vik)]'

1 sin" '(p(x -+- cos (p)"(/tp (•). (10)

Addition. — (Avril I88C.)

III. Si l'on développe (x -h cos cp)", on a, en supprimant des intégrales nulles,

sin" '(p{x 4- cos cp)"</ç

»sin** V'fpU" -+- C,.,îX"-*eos"-(p -+- Q^x""* cos*(p -+--"|. En général,

sin''9 cos'' çpr/cp =

- rf'-i^+i

Donc

sin'*""'(pf/cp = - V{k)

sin"~'(p cos'^cpdç = - V{k)

' r ik

(*) Lorsque A =-j, cette égalité se réduit à

P„ = / (x -+- cos tp)"f/(p;

ce qui est exact. (Notes d'Algèbre et d'Analyse, p. 10.)

( 256 ) puis, à cause de r(^) = I^tt :

/ sin**~*cp(a; -+- cos (pYdcp

et enfin, au lieu de la formule (10) :

\ Fin -+- n) Vtz

IV. Remarque. — Si k est un nombre entier, le second membre est rationnel; ce qui devait être.

Soit, par exemple, A-= 1 ; alors

P, = T{n + 2) p + i C„,2X"-^ + i C„.iX"-* -H -.. I ; et, par conséquent,

rf-'V r(n -^ 2) r 1 ^ , ^ . 1 ...

-^ = X" -f- - C„ 2X"-2 -4- - C„ jx"-* -+-••• (" .

(*) Le dernier terme contient x" ou x', selon que n est pair ou impair. (**) Si, après avoir décomposé y en

dny

on forme directement t^ , on trouve le même résultat.

( ii37 )