I. Soient

y = I -f- z H- jz^ -+- ••• -+- z/*, (!)

(*) Le lecteur est prié de faire les figures.

('*) Lorsque p = 2, les coefficients A„ deviennent un cas particulier des fonctions (le Legendre [Deuxième Mémoire sur les fonctions X„ , p. 63).

et, par conséquent,

On déduit, de cette équation,

M?/' H- '2yu' = 0, (4)

m(1 -+- 2z -t- 5z' -+- - -+- pz^-') -f- 2m' (1 ^ z-^- z'--^ h z") = 0. (5)

A cette égalité, on peut adjoindre celle-ci :

w[l(p+ l,c" -t-pcP+'J-t-Sw'!! —z){\ — s''+«) = 0, (6)

résultant de ce que :

1 — z \ — (p -i-Dz" -^pz"-^'

(4 - zr

H. La relation (6) équivaut à

ou encore, à

[1 — {p -+ 1)2'' -+- pz"^'] 5" A„z" )

+ 2(1 — z — zP^' -H zP+^l 5 (/j + 1 )A„+,z" = 0. \

Le coefficient de z"~* est

A„i — (p -+- 1) A„^p, -+- p A„p ï - 2 [« A„- (n- 1 ) A,.i- (/*-p- 1 ) A„p,-t- (w-p-2) A „ p,^] =0, (wy p-H2)

2nA„— (2«— d)A„,— (2«— />— 1)A„^,-+-(2;î— p— 4)A„„2=0.(iO)

(*) Les équations aux différences finies, déduites des égalités (5), (0), contiennent, respectivement, p -h 1 termes et quatre fermes. A partir de p = iy la seconde est donc plus simple que la première. En conséquence, dans ce qui va suivre, nous négligerons l'égalité (5).

III. l/orrfre de celle éqiiîUiori (10), aux diffcrences finies, est

Donc, elle donnera, de proche en proche, un terme de raiiî» quelconque, si l'on coiuiail, préalahlemenl, les p -H 1 termes initiaux : Aq, Aj, ..., A^.

Kvidenmieni,

Ao=1, A, = — -

Pour trouver A.^, A-, ..., Ap, el même le terme (jénéral, \„, on peut appliquer l'une ou l'autre des méthodes suivantes : 1" D'après la formule

<, = (! —zf{{ —z^+') ' (lii)

Le développement du premier facteur est

i 1 , 1.3. ^" ZÎ+'

Le développement du second :

Faisant le produit, el le limitant à z'', on aura donc les valeurs initiales demandées ; savoir :

2» De

on conclut

I — z^+' ou

= \ -+- 2A,z -+- ••• -t- (AoA„ -V- A,A„, -f- •• h- A„Ao)z" h-

AoA„ -4- A,A„i -+-••• -4- A„Ao = — I , (16)

selon la forme de w.

IV. Cette relation (16), inapplicable dès que Tindice n est un peu grand, pourrait servir à prouver la propriété suivante :

i"A„ = entier. (17)

Mais la démonstration est encore plus simple au moyen de la formule (12), jointe aux développements (13) et (H), En effet, si </ h- 1 n'est pas multiple de p ■+ 1,

A = — T' C.i„ „ . Ci,,. „. ; (n = » -4- 1 7' -f- (/ -f- 1 )

et, dans le cas contraire,

A„ = - C,,, , - 2 C2,. , . C,,, ,. ;^,+,,2(f/-4-1) • \~p + il

Or, d'après un théorème connu,

C2,, , = = entier ;

7-^-1 ■ i .2... 7 X 1 -2... r/ -4-1 et, d'un autre côté, 4-'+'-"^ divise 4'+"'+'"'+'