V. En résumé : \° Si l'on suppose

'zV

tous les coefficients C„ sont entiers.

( 241 ) 2" Ces iOf/Jicients son! (lonncs par lu fonnnic

3° Ce nmltljilv de 4" se réduit à zéro, si n = ,)R(/; -i- 1).

\'l. J{eni(irfjue. — Si /)= 1, l;i formule (18) (lo\ienl //(:„ — !>(!>« — 5)(:,, — H;(« - I)C„, -f- 7r2{'-2n - 5) (;„ , = O. (!<►)

Le calcul (lirccl (ioiiiic

C, = -'2 = — C,, (;, = G = C,,„ (:,= — 20=— C,,,; après (|Uoi roii vérilie, aisénK-nt, que

(:„ = qFi:,„,„C). (20)

Par conséquent, il existe celle relation entre les nombres C,„ „ : i^^'in.» ■*- -\:i/< — "))C„.,.,. , — IG(;* — I )(:i„,,„,

Il en résulte, si n esl impair :

— 5Cj„ ,,„ , -+- <SCj,..t„.,, -4- 80C2,.6,„3 = '^'l (;/), ou

ôCî,,,,, — 8Cï„î,„, — 80C„t.„ j = ,Ml (>< -H 1).

On sait que C2„„ = ,''11 («+!); donc, par le ciiangemenl déjà

elïeclué :

(^ï,,,. -t- 10C2„,,,.., = ;Tc {n -+- 2).

Nous avons donc ce petit théorème :

Soil 11 U7i nombre impair. Si, au nombre des combinaisons de !2n lettres, u à n, on ajoute 10 fois le nombre des combinaisons de 2n — 2 lettres, n — 1 à n — 1 , le résultat est divisible par n -h 2 (**).

(*) Ce résultat était évident a priori, à cause de

{") Pour le cas de n pair, je n'ai rien trouvé de semblable.

CIjI^^. — !^ui' uuc équation algélii'if|ue.

{Septembre 1 870.) 1. L'équation

a été remarquée depuis longtemps, parce que ses seules racines réelles sont toujours 0, — \, — 1 (*).

Il est facile d'en former d'autres, jouissant de propriétés analogues à celle qui vient d'être rappelée. Par exemple :

L'équation réciproque

(2n -4- 1)x'"+' -+- i^ln -»- l)j-" —1=0 (i )

n trois racines égales « -f- 1 , trois racines égales à — 1, et in — 4 racines imaginaires.

La démonstration, que nous ne développerons pas, est extrêmement simple.

IL Si l'on supprime le facteur (x'^ — \f, l'équation résullanle peut être mise sous la forme

puis sous celle-ci ;

x*"-^-h2x'"-*h ^nr" — nx^"-^—{H — ï)x^"-' 1=0. (3)

Il est évident que le premier membre de cette dernière é(|uation est encore divisible par x^ — \.

Addition. — (Septembre 1886.)

JIL Le quotient est

■+■ 6x* -+- ôx' ■+- i .

(*) Cours d'Analyse, p. 505. On suppose /«^ 1. Je crois me rappeler que Waring s'en est occupé.

( 243 ) Ainsi, [équation réciproque

X*- H- ÔJT*"-* H- 6x*"-* -4- ••• -H î^ X*"

-4- fix* -+- 5x -+- I =^ 0,

dans Uu/uelle les coc/ficicnfs soiil 1rs nomhres Irianrjulairos, n'a aurane racine réelle.

I\ . Soil X,^ le polynôme formant le premier membre. Il est faeile de voir que

tin effet, le développement du carré est, comme on sait :

x"* -+- 2x*"-* -+- 5x*"-* -H 4x*" " -+-••• -H ôx* -4- 'ix- -4- 1.

Donc, en identifiant les deux membres, on retrouve les égalités connues :

3 = 1 -H 2, 6 = 3-4-5, 10 = «-4- 4, 15=- lO-H 0, ...