V. Si l'on part de
Xj = X* -H 5x* -4- I = (x- -4- I f ■+■ X-,
on obtient, au moyen de la formule (5) :
-t- xV ' -^ a:'"-* -4- ... + X- -4- 1 y- -4- •• -H x''-^(x* + \Y-\- x": i ^^'^
(le polynôme, étant la somme de plusieurs carrés, ne peut s'annuler pour aucune valeur réelle de x. La proposition primitive est donc vérifiée (*).
(*) Au moyen de cette relation (6), et de l'équation (4), on pourrait démontrer la formule connue qui donne la somme des carrés des nombres imlurels.
CI<V. — Vue application de la formule du biuôiue.
(Novembre 1861.) X éiant positif, on a, en série convergente,
D'un autre côté,
x(4^.2) x'(y.^f x'XJ^.ôf
Si, dans ces deux développements, on égale les coefficients de a;2, on trouve
Le second membre est la même chose que
/ (le\ (1 -+- ô) -+- - (1 -+- e -f- 6'-) (1 H- e -t- 6^ H- e^) -+-
ou
/' de
ou encore :
db
Donc enfin.
/\T(^[^('-^)--4'.=^]=ia'.^)'n.
(*) Comptes rendus, t. XLV, p. 621.
(**j Probablement, cette intégrale est connue; mais je ne l'ai pas trouvée dans le Recueil de 31. Bierens de Haan.
C'I.Vl. — Mur la foiM-tloit t'A-r),
{Murs 1877.) Soit, avec la nota lion de Lcgendre,
N, /) étant des nombres entiers.
Mettons i\ sous la forme :
«//'"' H- /;/)"-• -4- ••-»-/:/) H- /; a, b, c, ... A, / étant inlérieurs à /) (*).
Il résulte, de cette décomposition,
ou
On a aussi
N = a{p"-' — 1) -+-.•-+-/.(/>— I ) -H « -^ /^ -H ••• -+- A- -t- /. (3) Donc le quotient entier de N par p — 1 est
Le maximum du numérateur est n(p — 1 ). Par conséquent :
Le nombre X est compris entre Y et Y — n ; ou, ce qui revient au même ;
Si Von suppose
l'erreur commise est inférieure à n ; p" étant la première puissance de p qui surpasse N.
C) Autrement dit, on suppose N écrit dans le système dont la base est;>.
rii't'II. — Aire «l'uue fig;iii*e sphéri«|iie.
(Avril 1877.)
