I. Le rayon OA étant pris pour unité, soit OC == c

Sur OC, comme diamètre, décrivons une circonférence»

A désignant l'aire de la partie supérieure de la sphère, projetée à l'intérieur du cercle OC,

JJ i/i x^ —

X et y étant positifs.

X = H CCS 9 , y = Il sin cp ;

A = 2 / ' f/cp A

Vi-u^

pUh

A = TT — 2E,(c).

11. Remarques. — 1° Lorsque c = 1, la figure sphérique est la fenêtre de Viviani (**).

2° Dans le cas général, le quart de la sphère, dont la projection est ADBO, a pour mesure t:. Donc

E,(c) = aire projetée suivant ADCMO.

(*) Parce que OM = OC sin f.

r*) Voir la Note CXLVIII.

€1.^111. — Qiioli|iir*> |li^M»rt'iiM*N sur lr«» «-oiiifiiK'N ('l.

I. Si deux conifjtu'S ont leurs ares principaux resfiecliremeni parallèles, leurs quatre points d'intersection appartiennent a une meute circonférence (**).

II. KÉciiMUtgUE. — Si deux coniques se coupent en quatre pointu situés sur une circonférence, leurs ares principaux sont, respectivenien t . pa ra Ile les .

III. Corollaire. — Si deux auf/les ont leurs bissectrices parallèles, leurs côtés forment un (juadrilatère inscriptihle.

IV. Dans l'ellipse, la somme des cordes passant par un foijer. et parallèles à deux diamètres conjugués, est constante (***)•

La sonjuie dont il s'agil est, avec les nolalions liabituellr? :

L 1 — e CCS :o 1 — e.- cos- ce J

Il faut vérilier que s est indépendante de w et de w', si l'on a, entre ces variable;!, la relation

lga;lg6)'=--. (i>)

Soient t, t' les deux tangentes, de manière que

La formule (1) peut être écrite ainsi :

(*) Trouvés à diverses époques. Je supprime les dénionstralions de ceux qui sont presque éviden's. (Avril t886.)

('*) Conséquence d'une propriété des surfaces du deuxième ordre, publiée en 1847 (Nouvelles Annales, p. 421).

(*'*) AI a nue l des Candidats, t I, p. 409.

puis sous cette forme :

,s = '■Jp

yl — ej -+- (I — e-)(«- -H f) ^ tH'^

Au moyen de la condition (5), la fraction devient

4 (Je- -+- 2e* -t- (2 — e^C -\- «') 2 — r (I e'2)[2 — 2e'-i- <' -t- r'] "" 1 — e'"

Ainsi

V. 5î, d'un point M c/'w^e hyperbole, pris comme centre, on décrit une circonférence passant par un foyer, et qui coupe, en R, R', la directrice correspondante, l'angle RMR' est

constant {* ).

VI. Soit une ellipse E ayant F, F' pour foyers. Sur FF' et DD' = 2b, comme diamètres conjugués, on construit une ellipse E'.

1" Les deux courbes sont doublement tangentes; 2" La normale commune, en chacun des deux points de contact, est parallèle à DD'.

1" L'équation de E étant

a^y- -+- b^x^ = aW; (n)

on trouve, aisément, que E' est représentée par

c'y' -4- b\x sin 6 — y cos ef = b'c'- s'uv 9. (6)

Les deux courbes seront tangentes si l'on a, pour chacun de leurs points communs :

C'y - b'{x s\n 6— y cos (i)cofiô 6'^(xsin6— j/cose)sine 6Vsin*9 a'y b'x ab'

(') Autrement dit, le triatif/tc isoscèlr RMR' est invariable de forme, {") Par le théorème des fonctions homogènes.

( l>40 ) Les équaiioiis (7) se réduiseni ;i rt(|u;iii()ii iinii/nr

j- ir

la(|uelli' représente la corde de contact TT' (*).

•2° Le iliitnièlre GG', perpendiculaire à DD', a pour équalioti

- = — toi 6,

Le proiliiii des eoellieieiits angulaires de TT' et de GG' élan!

Il- r

— ^, TT' est conjiKjiiee à GG' ; ou, ee qui revient au même : La normale connniaie, en T, ('.s7 parallèle au diamètre DD'.

VN. Soit une parabole V. Du point H, symétrique du sommet A , relatirement à la directrice, on mène une transversale , i/iii coupe P aux points C, D. I.es normales GM, DM, en ces points, se coupent sur P.

VTH. Remarque. — Si la transversale devient tangente, le point M appartient à la développée de P.

IX. Soit un hexarjone ABCDEF, dans lec^uel trois côtés alternatifs concourent en un point S, et les trois diagonales, joignant

ër<

(*) Si l'angle D varie, Venvcloppc de E' est donc E (abstraction faite des deux foyers). (Application de l'Algèhre à ta Géométrie, 184.8, p. 536.)

les sommets opposés, concourent en un point R. Cela posé, les trois autres côtés concourent en un point T (*).

Considérons un hexagone auxiliaire, A'B'C'D'E'F', dont les côtés soient parallèles trois à trois. Il est très facile de vérifier

que les diagonales A'D', B'E', F'C concourent en un point R'. Mettant en perspective, on a le théorème énoncé.

X. Remarques. — 1° D'après la seconde hypothèse, et la réciproque du théorème de Brianchon, l'hexagone ABCDEF est circonscrit à une conique C.

Pour la même raison, l'hexagone ADEBCF, dont les diagonales sont AB, CD, EF, est circonscrit à une conique C.

De même encore, l'hexagone ABDFCE, dont les diagonales sont AF, BC, DE, est circonscrit à une conique C". Le théorème peut donc être énoncé ainsi :

Lorsque, avec six points donnés, pris comme sommets, on peut construire deux hexagones, respectivement circonscriptibles à deux coniques, on en peut construire un troisième, circonscriptible à une troisième conique.

2° La théorie des polaires réciproques donne cet autre théorème, corrélatif du premier :

Lorsque, avec six droites données, prises comme côtés, on peut construire deux hexagones, respectivement inscriptibles à deux conicjues, on en peut construire un troisième, inscriptible à une troisième conique.

(*) Non marqué sur la figure.

( i2?il )

3" Le premier énoiieé peiii encore être remplacé pîir (clui-ci .

Lorsque, dans un hexarjono AIUIDKF, les cô(és Mi, I)K cl la

(lidfjonalc CF concourent en un point S; que, de plus, les cotés

CD, AF et la diarjonale BE concourent en un point R ; alors les

cotés BC, EF et la diafjonale AD concourent en un point T (*).

4" Dans la figure auxiliaire, les trois hexagones (**) seraient :

(*) De là résulte un théorème corrélatif. Mais nous ne pouvons épuiser cette intéressante théorie.

(**) Non tracés.

ClilX. — Sur la soiuiue des diviseurs de n.

(Juillet 1877) (*).