I. Soit la formule de Jacobi

= 1 3x H- 5x' — 7x' + 9x'° — i Ix'^* -^ - ("). i ^

Il en résulte, comme Ta remarqué M. Halphen :

-V- oc" I n -^ '■•

X ■+- ôx'^ ■+■ 4x^ -t-

^ a- — Sx' -H lix' — ôOx'» -\- 53x*^

~~ 1 — 5x -H ox^—7x''-t-9x'" — Hx** -+-•••

Supposons :

J — 5x-t-ox' — 7x*-+-9x'" — •

de manière que les nombres entiers A„ sont donnés par la loi de récurrence :

A„ — 5A„, -+- oA„.3 — 7A„6 + 9A„jo = 0. (4)

Alors, d'après l'égalilé (2) :

Ainsi, l'on peut trouver la somme des diviseurs de n sans connaître aucun de ces diviseurs^ sans décomposer n en facteurs pre- )niers, etc.

(*) A l'occasion d'une formule de M. Halphen {Bulletin de la Société mathématique, Congrès du Havre).

(") Note CXL. Le second membre est décomposable en facteurs, d'à»* moins treize manières (Recherches sur quelques produits indéfinis).

("*) Recherches sur quelques produits..., pp. 59 et suiv. Il est visible que,

d(nis le numérateur, le coefficient de x - est, en valeur absolue, la somme des carrés des n premiers nombres entiers.

II. J'ignore si l'on a fait attention qno l'on peiil ramenti l;i leclierche de f n, au pioblôine de la (técoinposition d'un uomhrr f-nlier, en parties entiètes, posiliies, ët/ales on ini'(/(ilcs. l'ouï arriver à ce résnilal curieux, il sullit de moilifier, lêf^èrcnicnt. la méthode etn|iloyée ci-dessus.

Soit la célèhre l'orinule d'Euler :

(I — x)(l — J-')(* — ^"'j- = I — J- — x'-t-a'-+-x' — x" — x''--+- •• (;)) On en conclut, comme Labey (*) :

j- ■+■ ôx^ -♦- 4x' -+- ••• +■ X