III. L'élimination de a, entre les égalités (4), donne
Telle est donc, inversement, l'intégrale de l'équation (5); / étant la constante arbitraire (**).
C — Prolilèiiic de Géométrie.
(/j«V/ef 1862.)
On donne une suite de courbes, AB, A'B', ..., représentées par
et l'on demande quel est le lieu du pied M de la normale MM' commune à deux de ces lignes, infiniment voisines.
(*) Tome I, page 235. On a fait un changement de lettres. (•*) Tome I, page 228.
I. Solution. — Soient x, y les coordonnées de M, et x' ^^ X -i- dx, y' = y -i- ày les coordonnées de M'. On doit avoir :
dy du'
"^ (?«/ + Jx = 0, -p-, ây -*- 3x = 0.
Mais
dx
dj/ ^dy^(Jy dx' dx dx
dx'
d ^JL d ^
dx dx
——Jx + —-—(??/; dx dy
donc
dy dx
dx
Sx
dy dx
dy
puis
dy\ dx
dy =
dx.
dx J "^ \ dy Pour développer celte équation, observons que
dl
dx
dy et, par conséquent :
dy df d'f df d'f
dy dx
dx
dx
dy dx^ dx dxdy
dx dy
df d'f dfdY
dy dxdy dx dy^
dy
Au moyen de ces valeurs, l'égalité (4) devient
dx
d/d'f df d'f
dy dx^ dx dxdy dy
df
df d'f dfd'f dy dxdy dx dy^
ou
dfdfVd^f f/yi d'f
dx dy \dx^ d\f dxdy
df^^ 'ihc
II. Apptiiation. x' — y -4- 5a'x = c*. Suppression faite du facteur ô :
dx ' dy ' f/x* ' f/xr/v ' dtf
Donc l'équalioii (o) se réduit à
Celle-ci représente l'axe des abscisses et la bissectrice de l'iuiiilc nOx . En effet, pour tous les points de la courbe donnée, situés sur Ox, la valeur de ^| est infinie ; et, d'un autre coté, hi bissectrice dont il s'agit est un axe de la courbe (*).
III. Remarque. — Si la quantité f{x, //) est homogène, ré(j nation (fi) Test pareillement; et le lieu demandé se compose, comme dans le cas précédent, de droites passant à l'origine.
