II. Exemples
(*) Addition à la Note CLVI.
(**) Tome I, page 120. La première Rvinarque renferme une faute : au lieu de N = J, on doit lire N = 2.
(*'*) Surtout au moyen de la Table IX, de Legeudre.
( i>5îl )
La fonuulc (A) donne
'l(»()0()00\ /IO(HKK)()\ /l (HtOOOO
/I0()0()00\ /IO(HKK)0\
I 000 000 / 1 000 ooo\ / 1 000 000
/ 1 000 000\ / 1 000 000\ / 1 000 000 \ \ U.149 / "*" l 23.liî> / ' \I3.1>3.I4Î)/
= 1 000 000 — 76 923 — 43 478 — (i 7 1 I -4-3 344 -+- .'il(i -♦- 291 —22 = 877017.
Daprès (A') :
Ainsi,
Ln calcul tout seniblahle donne
III. Remarque. — Si n est divisible par tous les nombres premiers donnés, N^^ N.
C'LVII. — lu lieu ^^^■■■^ti*i<iu<'-
{Octobre 1877.)
Par un des points d'intersection de deux circonférences , o)i mène la double corde commune ATT'. Par les points de contact T, T', on mène les tawjentcs TM, T'M. Quel est le lieu du point M (*) ?
Prenons AB pour axe des abscisses, le point A pour origine. Soient x, ij les coordonnées de T; x', y' les coordonnées de T'.
Nous avons
x' -\- if — 2ax — 2S// =0, (I)
x'- -H y'^ — 2ax' — 2S'»/' = 0. (2)
(') Le lecteur est prié de faire la figure.
Les équations des tangentes sont
(x a)XH-(// -j3)Y = ax +py, (x' — a)X + Oy'— (5')Y = ax' H- p'y';
ou, à cause de
(x — a)X -t- (mx — j5 )Y = (a -+- mp )x, (4)
(x' — a)X -4- {mx' — Ê')Y = (a -+- wp')x'. (5)
Les abscisses des points T, T' sont, par les relations (1 ), (2), (3):
a -H mS a -+- w8'
Il faut, entre les quatre dernières équations, éliminer x, x', m.
L'élimination de x et de x' donne
2(mY -+- X) (a -4- mp ) — (pY H- aX) {m' -4- 1 ) — 2(a -4- mp )' = 0, ( 7) 2(»«Y -+- X) (a -4- »îp') — (S'Y -+- aX) (;«- + | ) — 2(a -+- wp')"^ = 0. (8)
Par soustraction, après suppression du facteur (3 — [3', on trouve
2{mY -4- X) m — Y(m- + I ) — 2m [2a -4- m(8 -+- [3')] = 0. (9)
D'autre part, si l'on multiplie par (3', par (3, et qu'on retranche :
— 2a(mY -4- X) -+- (m' -4- 1 ) ^X -t- 2(a- - nrpp') = 0. (10)
Ces équations se réduisent à celles-ci :
— [nr — 1 ) X -+- 2»hY — 2 a — nr — = 0 , (10') lesquelles représentent deux droites perpendiculaires entre elles.
( '2ti\ )
Ecrivoijs-lcs iiiusi ;
[Y — 2(? -4- S')] »j* -+- 2(.\ — 2'/) m - Y = 0, (II)
2 ?^ — x] m • -4- 2Ym -.- (X — 2a) = 0. (1 2)
L'enveloppe de la première droite esl la circonférenee représentée par
(X — '■laf -+- Y- - -2{p -+- p')Y = (». (15)
L'enveloppe de la seconde a pour équation
Par conséquent, le point M est le sommet d'un awjle droit, circonscrit à deux circonférences : le problème esl simplifié (*).
(') Nous arrêtons ici cette Note, parce que de pures considérations géométriques prouvent que le lieu du point M est un Limaçon de Pascal. Voir, dans les Nouvelles Annales (t. XV), les curieux théorèmes énoncés par M. Mannheim; et, dans Mathesis (t. I), la démonstration, due à M. devers. Nous ferons, cependant, les remarques suivantes :
1° Les circonférences, dont il vient d'être question, sont urihogonales ;
2» D'après un théorème connu (Théorèmes et Problèmes, p. 50), l'angle M est celui sous lequel se coupent les circonférences données : il est constant;
3" Par conséquent , le lieu du point M se compose, généralement, de plusieurs Limaçons de Pascal (Mannheim);
4° Le lieu du sotnmet d'un angle donné, circonscrit à deux circonférences données, coïncide avec le lieu du sommet d'un angle droit, circonscrit à deux circonférences auxiliaires, orthogonales. (Mai 1886,)
€1.1^111. — Théorèmes (l'Arithmétique.
(Novembre 1877.) I. Soit h un nombre premier, non diviseur de a. La fraction
est réductible à
Soil p un diviseur premier de 1.2.3 ... n, différent de b. Prenons, dans le numérateur de /' les p premiers fadeurs :
fl, « -+- 6, a -t- 26, ..., a H- (p — i)b.
Parmi ces nombres, il y en a un, et un seul, divisible par y; (**). Soit pa' ce multiple de p.
Dans le numérateur de/", ks seuls multiples de p sont, comme on le voit sans peine :
pu', pa' -H ph, pa' -+- 'iph, ..., pu' -f- n' — ipb;
n' étant le quotient entier de n par /;.
Dans le dénominateur, les seuls multiples de p sont
Supprimant, aux deux termes, //", nous avons à considérer la fraction auxiliaire
(*) Ce théorème est dû, peut-être, à Eisenstein. (") Propriété connue.
( 2(ir> )
sur la(|in'lh' on peut n'-péler les lutMiics raisoniKMiu'Uls. (U'Ilr-ci condiiiniil i\
n" »''l;inl le qnoliont eiitirr de n' par }) ; ci ainsi de suite.
De cette manière, (in l'ait disparaître, des lieux ternies de /, tous les facteurs premiers du dénominateur. Il ii'\ a exception <|ue pour le facteur premier b.
D'ailleurs, par une propriété connue,
