II. Hcmar(jui's. — 1" Si 6 est seulement premier avec, a, la

fraction /"est réductible à

/'» t' \ p\ ••• étant les facteurs premiers de b.

2" Si b surpasse n, f est un nombre entier. 5" On peut énoncer le théorème suivant : a e/ b étant premiers entre eux, tout nombre entier N, premier avec b, divise une in/inilé de termes de la progression :

4" Soit 1= m <i \ . On a, en série convergente (**) :

(') Ce théorème, évident par la théorie de l'équation

a-h bx= N// , est, pour ainsi dire, inverse de celui de Jacobi (Noie XXXVI). (**) Comptes rendus, t. XLV.

( 264 ) D'après le théorème,

a{a -t- b) ... (rt -+- n — 1 6) A„ I .2.5...W ""F'

A„ étant un nombre entier. Donc

CIjXIV. — Sur uue «série.

(Novembre 1877.)

Soit s„ la somme des ii premiers termes de la série 4 i 1

a ^ \ (an- 1)(rt -^- 2) (a -i- |)(a -4- 2) (a + 3)

On trouve :

a a-i- \ a^ -4- 3a -4- I Nj

Supposons

iV„2 étant un polynôme du degré n — 2.

D'après la loi de formation des termes :

(*) Le signe — , si « est pair.

( iJO?) )

Cunsé(}iieiniuont,

(a -+-;» — !2)iN\, = {a H- /< — r.)(« -t- n — !)>„, qr 1 . (")) i);iiis celle iilcnlilt', prenons (i = — (n — 1). Elle se réduil à

Ainsi, /t' poli/uiihie iN\,j deiicnl ± 1, (immd on y remplace a /Kf/ ! — n. Colle loi, évidenlc pour

N, = « -+- 1 , Ni = <r -4- ô« -+- 1, Nj = iv" -\- (ta- -+- Do -4- 3,

siihsisie donc pour 1X4, N^, ..., i\„j, N^-^.

Soil mainlenanl, d'après les formules (1), (2) :

OU

(u-Hl)...(a-+-n — 3)(«-4-w — 1) [u -+- \){a -*- "ï) ... [a -*- n)

Pour rt = 1 — M, le numérateur devient

donc il est divisible par a -+- v — 1; et la dernière formule se réduit à

(*) -4- 1, si n est pair.

CliXV. — Une «lécoinpositioii en facteurs.

(i)1ars 1878) (*).