IV. Autre remarque. — Considérons la surface S représentée

par

Alors le problème peut être énoncé ainsi :

Trouver, sur la surface S, le lieu C du pied i\I de la normale à deux lignes de niveau consécutives.

La projection horizontale de C est donnée par l'équation (o), ou plutôt par celle-ci :

pq[r—t)=s{p'-q')', (7)

p, q, r, s, t représentent, bien entendu, les dérivées partielles de z.

(*) Faisant

x={x' — rj')\^ -, y = {x' -h y") \^/ -,

on trouve, comme transformée,

X' Vh X'-^ -+- ^'2 -t- (x'-i — y'i) = f 3.

( 24 ) V. Application. — Soit

z = x^ -i- y' — oaxy (*), L'équation (7) est, dans ce cas,

i2(x'' — ('y){y^ — ax)(x — y) + a{x^-+-y^ — ay — ax)[x^ — y^- — oî/-+-ax)=0.

Elle se décompose en

12(a;* — ay){y'^ — ax) -4- a{x^ -^ y^ — «y — ax){x -i- y -\- a) = 0. (9)

L'équation (8) représente le plan bissecteur de l'angle formé par zOx, zOy : solution évidente. Quant à l'équation (9), si l'on fait ;

X = u ces w, y = u sin a,

on la réduit à celle-ci :

-u'sin^2co-4-«M^(sinw-+-cosw)( — 1 -»-sin2w) — a'(sinM-t-cosaj) = 0, (10)

dont la discussion paraît assez simple.

Addition. — (Juin 1883.) VL Si l'on fait

l'équation (10) devient

o' cos- 29 , ^

V — ^a^v cos* 6 z = 0. (1 1 )

21/2 sinô

Celle-ci représente une courbe, réciproque de la précédente, et très facile à discuter.

(*) Les lignes de niveau sont des variétés du folinm de Descartes.