BH

CT (r -+- r')p' ■+- rp

Les droites AG, BP, CI sont connues (*); donc les valeurs de oc, y, z le sont également.

V. Remarques. — 1° La formule (13) peut être remplacée par une autre. Reprenons, en effet, la relation

AG [p -+- p')q'-^ pq

Dans le triangle ABC, on peut substituer le point G au point H, en changeant p en q', q en p'. Ainsi

BII (p -H p')p -+- p'q

2" Dans les formules (12), (15), les dénominateurs sont îrfeniiques; donc

AG BH {p -^ p') q' -^ pq

Si l'on introduit les aires des triangles AOB, BOC, COA, ABC, on trouve, au lieu de la dernière relation,

AOB pq'

ABC {p -+- q')p' -^ pq (*) Par exemple, au moyen d'un ihcorème d'Euler :

a (**) Il est d'ailleurs visible que, d'après l'égalité (11)

{q -\- q')r' + qr (q -t- q')P + P'q'

Far conséqiienl :

.SV U's i{nanfifi's p, (|, r, p', (]', r' sntisfout à la condition p(p- = p (|'r', elles rendent idcntiijuc l'éf/alite

pii' qr' rp'

p(J -*- p (f -+• pf] 7'" -+- (/ r -H f]r rp -+- r «/ -*- rp

5" La formule (Ti) donne, imméilialenieiil, celte aulre

identité :

pq qr rp

P'I ■*" P''l "^ P7 7'' '*' 'I '* ■■'" V ^'P "^ '' P "^ 'V 4" Des deux dernières, résulte celle-ci :

pf/ -4- p 7 -+-pq (fr -+- 7 >• -4- ^r r^ -+- r p -h r;)

5° Si l'on simplifie, autant que possible, chacune de ces égalités, on trouve

(') De simples échanges de lettres donnent encore trois autres relations, de même forme que les précédentes.

(■') Par conséquent, la surface représentée par