CI. Jilnr Mlle ^Mumtlon dlirôroiitlellt

{Juin 1870.)

{xdx - ydyY = a\ilx'- -^ (hf) . ( « )

Posant

on trouve

{x;hj' -^ n'<lx')' = a-((lx" -+- (///'-■), {'->)

ou

Soient, comme il;ins ma Note sur Vaddition des fonctions cllipliques de inemière espèce (*) :

x' = acosi/, ^' = «cosu.

L'équation (4) devient sin' u sin- r(/i;' — 2 sin u ces u sinv cos vdudv -4- sin'usin-Mf/«*=0,

ou

si

n II sin r {dir -t- r/f*) — 2 cos u ces vih<f/v = 0. (a)

Soient eneore (**) :

d'où :

sin u sin v = - (cos « — cos 6), cos u cos i = - (cos co -+- cos 9j,

cos 9 . de- — cos «f/w- = u ,

ou

,/,>/i lsin^^±d'o\/>-^sin-^ico = 0 (6)

(*) Bulkti7i de l'Académie de Belgique, 2' série, t. XXVII, p. 149. (**) Loc. cit., p. 146.

II Si l'on pouvait trouver une intégrale algébrique de l'équation (1), on aurait donc, pour les fondions de deuxième espèce (à module yl), un lliéorème analogue à celui d'Euler. Le problème, s'il est possible, parait difficile.

III. L'équation (3) représente les trajectoires orthogonales des courbes (1). D'après la manière dont cette transformée a été obtenue, il s'ensuit que : si Von fait exécuter un huitième de révolution aux courbes (1), on obtient leurs trajectoires orthogonales. Autrement dhiles courbes (1) sont égales, respectivement, à leurs trajectoires orthogonales.

Addition. — {Novembre 1871.) IV. On tire, de l'équation (3) (en supprimant les accents) :

y = — px -+- (/ 1^1 -+- p" ; puis, en différenciant,

ou

2pf/x -+- xdp = a

dx X a

pdp

dp ^Jp ^n/l-^/r L'intégrale de cette équation linéaire est

Je fais

Vpl

lA /