III. D'après la valeur de 2y -t- 1, on a

y = i[(\/2-4-ir-(\/2-l)"]l

Si w est pair, cette formule peut être écrite ainsi :

et, si n est impair :

Dans le second cas, y est un carré impair; et, dans le premier, y est le double d'un carré pair (*).

(*) Voir la fin du paragraphe IF.

W . lieitiarqucs. — 1" \ = i y (y H- 1) est la somme des y ltre)niers nombres entiers. Le prohièino peul donc; être énoncé ainsi :

Déterminer y, de façon que h somme N, des y premiers nombres entiers, soit un carré.

2" Si l'on représente par"" la réduite de rang n, on a

jnns

Les valeurs de N sont donc

Addition. — {Juin 1886.)

V. Dans l'expression de r„, remplaçons n par 2n — 1. Nous aurons :

i'.„-. = ,^[(l/2-+-1)^'-'-+-(\/2-l)-^'— J. (Il)

Soient

Ces deux quantités vérifient l'équation

Donc, d'après un théorème connu (**) :

{') Cette propriété résulte aussi de la forme des valeurs de y. (**) Mémoire sur certaines décompositions en carrés (Atti de l'Académie DES Niovi LiNCEi, J884, p. 23).

Chacun des dénominateurs

\, 5, 29, 169, 985, 5 741, .. est : 1" /« somme de deux carrés; 2" la somme de trois carrés (*).

C^IiXXII (**), — Sur une classe «l'équatioiis difTérentielles.

(Juillet 1879.)

I. Dans la première Note sur quelques questions relatives aux fonctions elliptiques, j'ai l'ait observer que l'intégrale générale de l'équation classique :

d'y J dy y

dx^ xdx I — x"

est réductible à la forme

Dans cette égalité, 1, u. sont les constantes arbitraires, et E{x) = A ^ f/cp \/i—x' sin^cp = E,{x).

{') Il y a, naturellement, exception pour les deux premiers. Quant aux autres, on trouve :

On peut consulter, sur ce sujet, le travail intitulé : Notes sur la théorie des fractions continues et sur certaines séries (1883, p. 26). (**) Tirée du Bulletin de l' Académie [iS^Q).

Il résulic, (le la formule (2), (jne IVqiiation (1) peiii èire triuislorniéo d'une manière simple et remar<|iiable. Posons, en effet :

-, l/xE(x) = X;

nous aurons

puis, en divisant par \ et en différenciant deux fois

Addition. — (^Juin 188G.)

II. Remarques. — \° \ étant une fonction quelconque, Pinlégrale générale de l'équalion (5) est donnée par la formule (4). On vérifie directement ce fait en observant qu'une intégrale

particulière est

et en appliquant la méthode connue (**).

2" Une seconde intégrale particulière est, évidemment,

/dx