III. Il n'est pas inutile de vérifier que

dx

■[E[x)f est l'intégrale générale de l'équation (1).

(■) Dans le tome V de la Nouvelle Corvespondunce mathématique (p. 551), j'ai ramené, à celte forme, une équation assez complexe, proposée par M. Escury.

("') Inventée, ou du moins très heureusement employée par l'illustre Sturm, dans ses Mémoires sur la théorie de la Chaleur. 11 en a déduit son célèbre théorème.

Pour plus de clarté dans le calcul, remplaçons, suivant l'usage, X par c, de manière que

y f* de

ou, sous forme abrégée :

Les deux premières dérivées de cette équation sont

c(Ey — î/E') = )., cEf/' -t- E^' — (cE" -H E') ?/ = 0. (7)

On sait que

1 , , E — /rF

donc

E" = - TE' — F'] [E — F], cE" -+- E' = F/ — F' = — - E.

La substitution dans (7) donne, après suppression du fadeur commun E :

ce qui ne diffère pas de l'équation (1).

IV. Si l'on vent, de la transformée (5), revenir à la proposée (1 ), on doit faire z^^yV x. On trouve

4x"m" -h 4xm' — V X" 4x ?/ X

A cause de X = l/x E(x), cette équation parait contradictoire

avec l'équation (1). Mais un calcul semblable au précédent

donne

X" 1 -t- Sx'''

X 4(1 — xV '

C) Legëindre, t. I, p(>. 66 et 67.

puis

4x*(l — x')y" -+- 4x{l — x*)y' — (I — x")»/ -+- (I -<- ôx'-ji/ = 0;

Ainsi, la lonetion \^ , au lieu d'ène transcendante, est (ih/cbrique et taliunnelle. Cela devait arriver; car deux cqualions dilTérentes ne peuvent avoir même intégrale générale.