VI. Généralisation. — L'équation (5) est comprise dans cette

autre :

\'z" + A-XX'c' — [XX" -h k\" |z = 0 ; (II)

k désignant une constante donnée.

En récrivant ainsi :

\z" — \"z X' Xz'—\'z X ^ '

on reconnaît qu'une intégrale première est

(Xz' — X2) X* = A. (13)

L'intégrale générale a donc pour expression

(*) On arrive à la même conclusion en observant que l'équation (11) est vérifiée par ;r = X.

VII. Remarque. — Sauf le cas où X esl un monôme, la méthode précédente ne semble point applicable à l'équation

/> surpassant 2,

Mais soit X = oc"; et, par conséquent,

Si Ton essaie

z = x^ , on trouve

Cette équation algébrique, du degré p, dont la discussion est intéressante, est vérifiée par

et, lorsque p est pair, par

L'intégrale générale de l'équation (15) (**) est donc, si p est pair :

z = Ax" -t- Bx''-"-* -I- B,x ' -4- ••• -H Ap .2X "-' ; (18)

el, si p est impair :

z=Ax" -+- A,x ' H H- A^,,x ''-'. (19)

Vlll. Applicalion. — Soient n = 5, p = 4; auquel cas l'équation (16) devient

(*) I/existencc de cette racine était évidente a priori. {*') Equation linéaire, à coefficients constants.

L équation aiixilinire (17) est

> (i — 1 ) {;. — 2) (i — ô) = 3 024, ou

i* — 6a' -H M A- — (JA — 3 024 = 0.

Elle a pour racines :

9,— G, -(s-f-l/ÏHil^^n), i(3-l/2Ï5l/^). L'intégrale générale de l'éciualion C^O) est donc

ou, sous une forme un peu plus simple,

2 z= Ax' -t- Hx-' -+- Cx^sin 1 — ^— ^. ax I (*). (21) (*) Si Ton |)ose, pour abréger,

les quatre premières dérivées de

;^ = ,r^ sin (m P .ax)

sont :

z\ =-x- sin (»n ^^. <xx) ■+■ mx- cos (7n ^ . a.x),

z\ ■= i- — m* la: - s\n {m ^ . <xx) -i- 'imx - cos(m i^ .olx),

-'," = — I - H- - m* I a; - sin (/n -l . ax) — l-tn-^m^]x - cos (m -^ .

ri" =: 1 H - m- -+- m' ) x - siii (m -T . ax).

Égalant à

3 024 a; *sin(m P.aa;)

Autre addition. — (Juillet 1886.)