IX. M. De Tilly m'écrit (*) qu'il sait intégrer

— = Ax'", z

m étant quelconque. C'est là un très grand progrès. En elïèt, la méthode de Kummer (**), fort ingénieuse, exige des transformations longues et pénibles; et, jusques dans ces derniers temps, j'ai cru que l'intégrale de la simple équation

ne pouvait être exprimée que par des intégrales définies. Voici, en peu de mois, le résultat auquel je suis parvenu, il y a quelques années.

Soit 6) une racine primitive de l'équation binôme a;''"''* — 1=0. L'équation (22) est vérifiée par

Donc, l'intégrale générale est la somme de p intégrales définies, respectivement multipliées par des constantes.

cette dernière expression, on a donc

d'où, en négligeant les racines imaginaires,

nf = —

etc.

(*) Lettre du 4 juillet.

(**) Journal de Liouville, t. IV.

( 289 ) \. lit indique . — Soit/>= 1. L'iiilégralc générale de

sérail donc

Or, cette intégrale est

Ainsi, l'on doit avoir

/« ^ il

f '(«j'^-' -•- (r^'')dx = ke* .

Si Ton l'ait x = 0, on trouve k= V'in. Par conséquent,

/.» cç^ i^

e ' * ( e^-- -+- e--^^) da = V'It: e^ ; (25)

formule connue.

Dans le cas général, la comparaison de la valeur de z, déduite de la formule (25), avec celle qui résulte de la méthode due à mon savant Confrère, fera connaître de nouvelles intégrales définies.