f- nv

ou

e " sin xdx =

Donc,

aVi

a -t-4 a"+a" ay

T 2i- ai

'-f-e "H ne"

jsinxrfx, (2

La quantité entre parenthèses égale

Par conséquent, si l'on appelle A le second membre de l'égalité (1) :

sin xdx:

et, pour a infini :

Uni

A= 4 / -si

sin xdx.

(*) Correspondance avec Gohlbaeh, p. 221.

{") Condition évidente, le dernier dénominateur étant «' -+- </'

(•*•) iVo/c LUI.

Or :

/"sina- , TT / " sinx n

Donc

lim A = TT.

II. Si l'on l'ail a= 1, 2, 5, on trouve, par application de la fonnnie (I) :

;r = ô,iG660, 77 = 5,14 IGG, 7r = 3,14159y.

On voii (|ue k' second membre converge rapidement vers sa limite.

III. Dans le Journal de M. G. de Longchampa (février 1881), M. Geu/frotf a donne une formule que Ton peut écrire ainsi :

ar -i- a — 1 J

En la comparant à la formule d'Euler, on voit que la différence des seconds membres est

a (la*

Cette quantité, nulle à la limite, devient — pour o = 2. Ainsi, la formule (2) est moins approximative que celle d'Euler.