AO BA
(*) Nouvelle Correspondance matltématiquc, t. Il et III (Question 152).
donc la rt-lalioii promlcnle se rétliiit à
AiiK»i tléjà :
Les distanrcs iltt /luinl K, (iiix pivds de la nii'dianc Au cl de la bisseclrkc A A , sont entre elles comme la demi-somme des côtés extrêmes est nu côté moj/en.
Si Ton représente par x, y les segmenis BH, CH, «m peul écrire, sous les deux l'ornies suivantes, la proportion (1) :
ac lia ah "la
La première équation donne
la seconde :
Donc
ou
"la
BR
VAX a — h
II. 0' étant le centre du cercle ex-inscrit à l'angle A; menons la droite GO'. Soit S le point où elle coupe BC. On trouve, de la même manière que précédemment :
A 'S 2« puis
BS a -*- c
es a -H f >
(*) D'après les proportions (1), (5), In droite aA' est parlarjce harmoniqufntent par les points R, S.
III. 0", O" étant les centres des deux derniers cercles ex-inscrits (*); soient T, U les points où les droites GO", GO'" rencontrent, respectivement, CA, AB. Une permutation tournante, eflectuée sur la proportion (4), donne
Cï 6-t- a AU c -^ b
AT~6 -»- c' BU ~c -I- «' et, par conséquent,
BS . CT . AU = es . Aï .BU. (5)
Ainsi, les droites AS, BT, CU (**) concourent en un point V.
CliXXWII. — Sur l'he^agoue iiiserit.
(Octobre 1 878) (***).
1. Théorème. — Soient a, a', b, b', c, c les côtés consécutifs d'un hexagone inscrit; soient a, (3, y les diagonales qui joignent les sommets opposés. On a, entre ces neuf éléments, les relations
{ab -J- a'3){bc + b'r){ca -+- c'a) = {a'b' -4- b(x.){b'c' -+- cp){c'a -4- r)
= ((/[3 — ab') ipr — bc') (ra — ca') ('^).
1" Dans les quadrilatères inscrits CA'BC, A BC'A (') :
b'r -+- 6c = A'C. BC, l>j. -h a'b' -= A'B'. AB;
et, par conséquent,
b'r -4- bc BC
boc + a'b' ~ ÂB " Une permutation tournante donne ensuite :
c'<x ■+- ca CA a'S h- ab AB
cf H- b'c' BC ar -+- c'a' CA
(*) Non tracés sur la figure.
(") Non tracées.
(""*) Notivcflc Correspondance mathématique, t. V, p. 295.
(") Prouhct en a donné une autre [Nouvelles Annales, 1858, p. 185).
(^) Le lecteur est prié de faire la figure.
\a' {)i()(liiit (lo seconds iiR-inlircs V'^;\U- ruiiité; dont- (/)(• -f- h'r){ru -+- r'x){ab -h tip] = {b'c^-^-cp]{(•'a^-^- ur){(i'b' -+- ^a). (1) ^2" Dans les (|nH(lrilnlères inscrits (lA'liA, ABCIV ;
r. AI! -+- //'. CA = X. ne, <■■. A M »- a . IJ(: = S.CA; ainsi, par I élimination de CA :
{cp -^ l}'c')\\i = («p — ah' ]liC; puis, an mo\eii (l'une porniutaiion (oiirnanle : {'xr -t- c'a')liC = {pr — l)c')C\,
(hx -4- a7/)CA = (ra — r«') AU.
Conséquemment,
(cp -»- b'c'}{ur -+- c'u')(/;a -4- ((7/) = (aâ — «//)(Sr — bc'){ry- — ca')- {^)
II. Considérons les quadrilatères inscrits IVCA'B, IVAC'B. La formule connue :
appliquée à chacune de ces deux figures, donne
(/»'c' -H râ)(c';3 H- b'r){b'p -f- ce')
(S + <,'-,-(•- c)(6'-4 C-+-C'— &)(<•+(•' H- s— 6'Xc'-t-j3 -+-//- c)
(S -1-6 -+- «' — ci){a -+- u'-4-6 — S)(aH-a'-+- S — ^(1^-+- " -^b - a') \{ étant le rayon du cercle auquel l'hexagone est inscrit. La diagonale (3 satisfait donc à Téquation
(ffi -+- b'c'){c'p -^ cb')(b'Çi ■+- ce')
(p-f-6'-Hc — c')(5-«- f-4-r'- //)(S-h//-i-c'— c!( — (3-+-/>'-4-c-Hc')
(«'8 -4- aft)(aS +- <('b\{hp -+■ au') ip-^b -f- a' — a)(p H- («-+-«' — 6)(|3 +- « -h 6 — a')( — ô -f- rt -4- o' -+- 6)
laquelle parait être du septième degré.
(') Voir, par exemple, la Géométrie de Legendre, Note V.
CliXXXVIII. — Nui* la partition des iiioiubres.
(Novembre 1878.)
