II. Si l'on suppose 3c= 1, on obtient

/^* r-p-\lt

et, mversement,

Ainsi, Vintègrale définie, conlenue dans le premier membre, est la somme t/e p + 1 fractions fort simples, ayant même dénominateur (**).

(*) Note LXVIII, équat.(l).

(**) 31. Dùreiis de Haan donne (T. IV), A' après Legendre :

le synabole ( " ) représentant le coefficient n"'"* de la puissance (b — a — 1)''='"' du binôme (p. 22).

De là résulte, avec les notations habituelles,

\zl --^0 m — p -1- «

[•"-p-^dl /1\»'-''

Il ne m'a pas été possible de vérifier si cette formule est exacte. (Sept. 1886.)

III. liemarque. — Le développement en série, de (î -+- /)"'"■*■*', donne, au lieu de ectle formule,

ni — /; -+- 5

Par eonséqucnl, si p est entier positif, la série contenue dans le second membre est somniable, quoique peu convergente. Exemple :

2 5 1 4 1.2 5 1.1>.3 IV. Il semble, d'après la relation (A), que

(lH-0

mais celle formule est inadmissible. En effet, si x est compris entre 0 et \, Vintégrale contenue dans le second membre est, presque toujours, infinie. Il nous faut donc ciierchcr, directement, la valeur du premier membre.

A cet effet, soit

d'où, par un calcul facile :

(a;)«^Y=^1 a:)[-l+C„.,,.x-C,„,,,x^-...dbC„.,,,.,x''-'] ^- [ ^— C„,,x -^C^,iX' zbC„,,pX''].

Le second membre éffale

"Bl-l.l

(*) Les signes supérieurs, si p est pair.

ou, d'après

la

ihéorie d

es

combinaisons (*) :

pX^

Ainsi

jnC,„j,,,

— xr^'

puis

x^rfx

Par conséquent, la relation cherchée est

1 — C„,,x -t- C„,2x' ± C„,pX

r r"^ x^dx