V. Remarques. — 1" Inversement

y (i xr*~" mc„,,j (1-xr r

et, si m est un nombre entier,

/'^ x^dx

-"wi, p+l

^P+l r rP+'-4-..-±x'"

2" Si l'on suppose

( 1 x)'" = 1 — C,„. ix -i- C„,. 2X- =fc C,„, ,x'' zp R , (4)

il résulte, de l'égalité (D) :

(') Coiirs d'Analyse, p. 44.

('*) Si, dans la formule (2), on fait x = 0, on trouve y = 1.

(***) Par exemple,

Addition. — {^Auùt 188G.)

VI. La Ibrmnle (D) est en défaut quand x= 1. Mais, quand il en est ainsi, le premier membre se réduit à ± C„, ,, (*), Consé- (juemmonl : x tendant vers 1,

/^' rdl

/rdt \

Afin de vérifier ce résultat, j'observe que

A' /'■(// I .Vf' i'' '(^^

I = — xTl — xY"^ — — / ;

J (I /)-+' m ^ -" mj (l-O""

puis

V'dt \ P 0

Si X = \, la fraction prend la forme |. Le rapport des dérivées des deux termes est, lorsque t = x :

Et comme cette quantité a pour limite zéro, la relation (6) est démontrée.

(*) Théorème de M. Genocchi (Nouvelles Annales, 1809, p. 132).

(**) Pour plus de clarté, nous avons substitué, dans la diffcrcnlicllc, t hx.

exCI. — Problème de probabilités (*).

(Mars 1882.)

I. Un bijoutier possède un diamant bmt, dont la valeur est a francs. On lui annonce que ce diamant est brisé en n morceaux. Un amateur, qui ne les a pas pesés, propose de les acheter. Combien doit-il les payer ?

Un raisonnement fort simple, développé dans le Traité de M. H. Laurent (**), prouve que le prix demandé est donné par la formule

= aff...{{\-y-z-.:f + / H- z' ^ -y^/dz..., (1)

dans laquelle les n—\ \ar\ah\es, positives, satisfont à la condition V étant l'inlégrale multiple qu'il s'agit d'évaluer, soient :

A = / / ... drjdz^ B := / / ...ydy dz, ...,

C= / / ... y'^dydz..., D= / / ...yzdydz...

Il est visible que

V = A — 2(n— l)B-+-2(n— 1)C -+-(/i— !)(« — 2)D. (4) Mais, d'après la formule de Dirichlet :

{') Extrait de mon Cours à l'Université de Liège. La même question a été

traitée, dans le Journal de Battaglini (avril i886), par M. Ernest Cesàro.

(**) Page 13i. C'est dans cet ouvrage que j'ai pris l'énoncé de la question.

Donc

et, après quelques ri'duclions

•in II P = (8)

II. Si l'on fait )i = 1,2, 5, 4, ou oblicul, au moyen de celle

formule :

V = -a, P = -an, P=— M, ..

m. Remarque. — D'après la formule (3), l'inlcrjrale

.Si /a somme des n variables, positives, est un.