CXCII. — f^iir nue formule d'Abcl

(Septembre 1886.)

I. On irouve, dans les Œuvres (**) de l'illuslre Géomètre norwégien,la relation, bien remarquable,

11 [ r^ tdl

II en résulte celle-ci :

1 = V- lia I : (A)

o-^ [a-^Xf (a-+-2)* 2a'' J (a^-t-f^f (e'^'— e"^') '

(*) Au lieu de cette valeur, M. Laurent indique celle-ci : 75. (**) Édition de Hoimboe, tome II, page 50.

puis, en supposant, successivement, a = 1, « = ^ : 7T- 1 /- tdt

1 /•" tdt

(i -+- ty\e^ -H e

II . Dans (A), changeons a en a-h \, puis ajoutons. Le résultat est

I ri 1 1 i^»

8 [â' ~ (an- \f\ ^ "J [a

tdt

tdt !(^)

/ - tdt

Le second membre peut être écrit ainsi : 1 /^- tdt 1 /^- ^r/f

Il ■-

Par conséquent, l'égalité (4) devient 20-4-4 /^« /f// r a -t- I a "I

8a(aH- 1)~./ (TT"^ ^a. g--a< "*■ gr(a+2y g-(a+2)rj' ^ '

Pour simplifier celle-ci, je suppose = k -h i, c'est-à-dire

a = j, A: étant un nombre enti€7\ La quantité entre parenthèses se réduit à

Le premier membre égale ^^^"'^j. Donc entin : {k -t- 2)A-' y-- f^/< 1 -4- (^--t- \)[e-' -+- e'('-^»)'.4- •• + e-^']

(*) Par le changement de ' en ,.

Voici donc une nouvelle suite d'inléjïralesdélinies, d'apparence 1res complexe, dont les valeurs sont fort simples. Par exemple :

y^- tdt -Je'' -+- 1 -f- 2e-'' 5

« till ôe'' -+- 4 -+- 5e '' 2

etc.