VII. Résidus de puissances. — Dans l'égalité

a^-'l = Jl\(p), (1)

Divisons, par p, chacun des termes du premier membre. Les n premiers restes , ou résidus, sont

A 9 92 an-i.

et ces résidus, dont la somme est p, se reproduisent dans le même ordre (**).

Cela posé, remplaçons 2 par 2*, A; étant inférieur à n, et considérons les dividendes :

Leurs résidus par p sont, dans un certain ordre, les termes de la ligne (7).

En effet, soit, s'il est possible,

2*i3 2*'^ = JlI(p), a, (3 étant inférieurs à n et inégaux. On tire, de celte égalité,

2*(i3-^'-1 = JÎL(2" — 1).

Ainsi, le P. G. CD entre 2'^'^-*^— 1 et 2"— 1 serait 2"— 1. Mais, d'après une propriété connue, ce P . G . C . D est 2"^ — 1, A étant le P . G . C . D entre les deux exposants : dans le cas actuel , à = 1 ; etc.

VIII. Application. — Soient » = 5, ;; = 51. On trouve les résidus suivants :