II. Supposons qu'il en soit ainsi; et, avec les dividendes

prenons

k étant inférieur à n h- 1 .

La ligne (4) est composée des termes de la ligne (1), pris de deux en deux ; la ligne (0) est composée des termes de la ligne (1), pris de trois en trois ; etc.

(*) Admirables, sauf les dénominations et la notation. Poullet-Delisle, traducteur de Gauss, dit qu'elles peuvent étonner. De son côté, Legendrc s'est raillé des expressions incongrues, adoptées par le Géomètre de Brunswick (*). Mais Lcgendre et Dclisle avaient des oreilles françaises.

(*') Recherches arithmétiques, p. 51. Je n'emploie ni la notation, ni les dénominations de Gauss.

(*'*) Recherches, p. 52. On peut consulter aussi une Note sur les fractions décimales jjériodiques, publiée, en 1842, dans les Nouvelles Annales.

(*) Recherches d' Analyse indelerminée, p. IS {18-25).

2 Pî

( 535 ) Pour (iémoulrer (jiie toutes ces suile.t donnent lien aux résidus

U Pl, Pi->--9n>

pris dans un irrlain ordre; reniphirous la ligue ("2) par luie

circoui'ércncc sur hicjucile j p, soient placés les résidus

^) Pi. ps» •••» p.. o p,. ; p"'s,

parlant du point (), (|ui correspond à l'unité, joignons, de deux en deux, de trois en (rois, ..., etc., les points de division.

Chaque opération donne lieu à un polygone fermé (non convexe), dont les sommets sont, daiis un certain ordre, les points 1, 2, 3, ... 7i ...(*).

III. Application. — Soient : p = ô\ , n -h 1 = 5, « = 4. Les suites de résidus sont :

dG, 4;

Si l'on supprime le résidu 1, on a le carré magique

(*) Ce tour de démonstration est bien connu. Il vient d'être employé, avec avantage, par M. Tarry, dans la solution d'un problème relatif au jeu de domino : De combien de manières peut-on placer, bout à bout, tous tes dés, en observant la règte du jeu? (Les doubles sont supprimés.)

IV. Généralisation. — Si Ton remplace les résidus i, p\, P2, ..., p„, par H H- 1 nombres entiers inégaux :

n -h 1 étant premier, puis qu'on les prenne de deux en deux, de trois en trois, ...,on formera de nouvelles lignes, composéesdes mêmes termes, lesquelles donneront lieu à des carrés magiques. Soit, par exemple, la suite

1, 3, 7, 12, 9, 4, 5, composée de 7 ternies. II en résulte les nouvelles suites :

puis le carré suivant, au sujet duquel nous pourrions présenter diverses remarques (*) :

(*) Le lecteur voudra bien suppléer à ce que nous omettons, dans le

dessein d'abréger.

C^C'^. — CompHrititaoïi «le tien» «^'fictt (*).

(Février 1885.)

I. TiiKORÉME. — Soioit n,, u^, .... ii„ lies (juantités ))<)sitirvs, décroissantes. Soient v, , Vo, ..., v„ d'autres (jnantités positives, telles que roii ait

les limites ko, k|, ..., k„ étant positives et décroissantes. Si l'on fait

S„ = iii — i/, -+- u-, ± //„ , (2)

2„<A-„S„ + (Ao-/c>.. (B)

1° Des inégalités (1), on déduit :

Vi > A-,u,, — i-i > — A-,M2, Vz > A;î/3, ..., r„ > t„w„ {**); puis

2« > A'i(î<, — Mî) -t- k{u5 — Vi) H- ••• -+- A„2(«„2 — 7^„,) -i- k„u„.

Dans le second membre, tous les termes sont positifs. Donc, à plus forte raison,

^n > A-„(î/l — 11-2 -^ ll-o 1- «„) ,

2" u, < ftoM,, — U.2 < — A-oî/2, ?•, < h^ti-, ..., y„ < A'„,î^,; 2„ < Av», — ^..(Wi — ih) A„,(j/„ ., — u,).

(*) A propos d'un Mémoire de M. Mansion. (**) Pour fixer les idées, je suppose n impair.

Dans le second membre, le premier terme, seul, est positif. De plus, on a

/:„[(».,— H3) -4- {lu — H;,] -+- ••• H- {u„i — u„)] < k..{u2 — Us) -t- ki{Ui — î/s) + ••• ^- /v„,(m„i — M„).

Donc, par addition,

2„ + k„{iu — u-,-^Ui ■+- ii„i — uj < Ml,

2„ -+- A->, — S„) < /toWi, ou enfin

II. Remarques. — 1" La diiïérence entre les deux limites de 2„ est (Aq — A„) !«,.

2" Celle différence est d'autant plus petite que les nombres Adécroissent plus lenlemenl.

o" Les nombres f,, v^, ..., r„ vont en diminuant.

4" 5i /a sen'e

Hi — Ki -+- "-2 -*- •••

es/ convergente, la série

Vi —1-2 -+- V3 — ••• l'est également.