CXCVI. — Sur la flicorie des oiuliilics

{Avril 1885.)

I. La condition d'égalité entre les rayons principaux d'une surface esl, avec les notations babituelles,

[(1 + q-)r — ^2pqs + (1 + f) t\' + i{s' - rt){i + ;/ + fy") = 0; (1)

relation dans laquelle on suppose

s'~rt<0 0. (2)

Poisson démontre que le premier membre est la somme de

(*) Voir, par exemple, V Analyse appliquée, de Leroy.

deux cnnés (*); innis la méllioilo (|u'il cm\Aoïc csl peu naluretle. Ou peut la modifier eommc il suii.

Kegardons s comme une inconnue. iNous aurons

en posant :

4As' -4- 4B.S -+- C = 0, (3)

C = -^^-irl{\-^p--^fr). (0)

De l'cquaiion (3), on tire

— Bzbl B*— AC

Or,

B- — AC = p'q-[{\ -t- q'fr' -+- 2(1 -h /r)(' -+" 7')'-' -+-(• + pji'] (I -^ ;;^)(1 -4- q%\ H- rfr ^ 2(1 + ;r)(l + q^-t — 4(1 -i- p^- -^- q--)rl ^ {l -^ pje];

ou, après quelques réductions faciles,

B^AC = (I -V ;r + q'){{l + r/'>- - (1 + />^)«p. (8)

Cette expression étant négative (**), le premier membre de l'équation (5) est la somme de deux carrés; etc. (***).

II. Une propriété numérique. — Si l'on change de notation et que l'on fasse

N == (a- -4- cJP — 2[(a^ -+- 6" -+- r)c^ - o^/,^]/i/ -+- (6^^ + cjff, (9)

(*) Loc. cit., p. 550.

(**) Excepte si

(*") Dès 18GC, une démoiisiralion, analogue à la précédente, a été donnée par MM. Misler et Ncubcrg, alors Professeurs au collège de Nivelles [Nouvelles Annules, 2« série, t. V).

( 540 ) on a, identiquement,

{a' -t- c'fN = j [{a' + 6^-4- r)c^ — a'b']g - {a' -4- c'ff\ ' -t- itrbVia' + /r- -+- c'■')9^

- Ainsi, le produit (a^ + c^y^ est une somme de quatre carrés. III. Exemple.

a= i, 6 = 5, c = 2, /= 1 , </ = 4. On trouve :

ce qui est exact.