I. Soit le [)aruljoloïtle hyperbolique représenlé par

z = xy. (1)

En appliquant l:i inétliode de Joachimstal, on trouve, comme équation ililTérentielle des lignes géodésiqucs de celte surface :

d*,s 1 (/*»/ xdx -1- ythj ds ii '/'/ 1 -+- X' -t- »/"

Une intégrale première est

rf.s' = f (t -f- X' H- y^)dxdt/ ; ou, à cause de

du- = (1 -4- y-)dx^ -t- ^xydxdy -+-(! + x')dy^ :

1 -f- X- -+- y-} y' II. L'équation générale des lignes géodésiques :

dy dy'^' dx dx^

.-4j = oo,

se réduit, dans le cas actuel, à

(I ^ x'-^y-)y" -^ ^[x — yy')y'=0-

Cette équation (5) ne doit pas différer, au fond, de l'équation (2). Et puisque celle-ci admet l'intégrale (4), il en doit être de même pour l'équation (o).

En effet, si l'on différentie l'équation (4) et qu'on supprime

le facteur

on trouve l'équation (o).

(*) Suivant l'usage, la même lettre s représente un arc et une dérivée partielle. Mais aucune confusion n'est possible.

Conséquemment, le premier membre de celle-ci devient une dérivée exacte, quand on le multiplie par la quantité

i -h y' — (I -+- ic^).î/'""

(1 -+- x^ -t- yy-y"