V. Un point remarquable. — ABCD étant un quadrilatère

inscrit; soient My la perpendiculaire à BD, menée par le milieu M de AC, et IV7 la perpendiculaire à AC, menée par le milieu N de BD. Le point -/, où se coupent ces deux perpendiculaires(*), jouit de quelques propriétés intéressantes.

\° Le point y est le centre de symétrie du quadrilatère ABCD et du quadrilatère AiBjCjDj

(*) Aulremcnt dit, le point y csl le quatrième sommet du parallélogramme déterminé par le centre 0 et les dislances OM, ON. De là résulte que, pour tous les quadrilatères ayant même centre 0 et mêmes directions

ai/attl pour sonnnefs les outiiocknthes des IriuKylcs IJCD, A(il). Alil), AUCC).

B, élant rorlliocerïtro di- \(.\), soii S le centre de s\métiie dont il s'agit : il est le milieu de IJH,. La droite NS esl parallèle à 1{B| et égale à la /noilié de I5I{|. Mais eelle dernière droite est,

par hypothèse, perpendiculaire à la diagonale AC; donc NS est perpendiculaire à cette diagonale. Comme le centre S est unique, il coïncide avec y.

2° Le point y est Vinterseclion commune des droites A'A", B'B", C'C", D'D ", déterminées par les projections de A, B, C, D sur les côtés du quadrilatère (**).

Considérons la droite B'B". Relativement au point B et au triangle ADC, elle est la droite de Simsoti. D'après un théorème connu (***), cette droite B'B" contient le milieu de BB,; c'està-dire le point y.

ô° Le point y est le centre commun de deux circonférences sur lesquelles sont situées, quatre à quatre, les huit projections A', A", B', ...

de diagonales, le point y est invariable. En outre, d'après la première définition, le point y est invariable, aussi, pour toutes les coniques circonscrites à un quadrilatère donné.

{') Tlii'orèmes et Problèmes, p. 40.

(") Voir page 549. Cette propriété a été signalée par M. Emile Lemoinc, en 186!) {Nouvelles Annales, p. 47).

('**) Théorèmes et Problèmes, p. 37.

Dans la première figure de la page 3o0, les points B',D", B", D' apparliennenl à la circonférence décrite sur BD comme diamèlre (*). Traçons B'D", B"l)'. Nous aurons