II. Soienl

oc, y, z les coordonnées du point de contact M ;

rt, b, c les cosinus dircctifs de la tangente i\lT;

/, m, n les cosinus dirertifs de la binormale MÎV;

p, r les rayons de courbure et de torsion de la ligne AMB.

On a, par des formules connues (*) :

i)c' — (7/ vu' — uc' uh' — ba' y ^'^ ^ f,'^ +

«/' -t- hni -4- en' = 0,

a'V H- b'm -H dn' = '

Considérons, en particulier, le point G, dont les coordonnées

C) Voir, par exemple, notre Théorie analytique des lignes à double

courbure. ,

(•*) Dans ces égalités, les accents désignent des dérivées relatives a 1 arc AM = s, pris pour variable indépendante. Pour la discussion des signes, voir le travail cité.

sont X -hKl, y -+■ l\ni, z -i- Rw. La génératrice GH, passant on ce point, a pour équations

9 étant une fonction de s, inconnue (*).

Écrivons-les ainsi :

X— x — R/ = fl©, Y — ?/ — R/« = ^9, Z — z — R/t = cep. (6)

III. Si la surface s est développable, on doit avoir, avec ces équations (6), les relations

— a — R/' = a(p' ■+■ a'cp, 1

— h — Rm' =*6cp' -+- 6'cp, ) (7)

— c — Rm' = ctp' -+- c'cp; ]

dérivées des premières.

Comme

o' -H b^ -+- c^ = I , au' -+- W/ -+- ce' = 0,

on conclut, des équations (7) :

1 R ^ «/' = qj', — R 2 «'^' = 92 ""'

ou, à cause des relations (2) et (3) :

l=-cp', R?=(p, 1 .^-!l = cp'^^-l. (8)

La troisième égalité est une conséquence des deux premières; donc deux génératrices consécutives se rencontrent; ou, ce qui est équivalcnl, la surface S est développable (**).

{') Celte fonction représente la distance comprise entre le point G et le point où la génératrice GH louche son enveloppe, si la surface s est développable.

(**) On arrive au même résultat, mais moins simplement, en considérant GH comme l'intersection du plan rectifiant avec un plan parallèle au plan osculaleur.

IV. Soit P le poini où la j^'-néralriec G II louche son enveloppe. 'D'après la Nalciir de ç (8) :

GP=R°, t},'PMT=--

Or, ^ représente aussi la laniiente de l'angle H lornié par la tangente iMT avec la recli/iaute (*); donc le point P est Cintersection de la rectifiante MR avec la génératrice Gll.

V. PP'P" ... étant Tarèle de rehroussement de la surface S, soient PM, P'iM', P"M", ... \es rectifiantes passant en P, P', P", ...

Si l'on développe la surface rectifiante, la courbe AMB devient ime ligne droite and) (**). Les rabattements des binormales MG, M'G', ... seront les droites mg, m'g', ... perpendiculaires à ab, et égales à R; donc la transformée de l'arête de rebroussenient est nue droite, parallèle à ab. Conséqucmment, celte arête est une ligne géodésique de la surface rectifiante.

€IV. — Quelfiiiciii idcutités.

{Mai 1872.)

I. Des expressions de ^,. -^ ~ (1), (4), (.j) (***), on conclut (a'^ M- b" -+- c"){l" -H m'- -4- n"') = («7' -+- b'm' + c'nf; (9) ou, par un changement de notation :

{x^ -+- if -+- z^){x"' + y"' -4- z"') = {xx' -+- ijij' -+- zz')\ (A)

Dans cette identité, les quantités x, y, z, sont proportionnelles à x', )', z'.

(■) Théorie analytique des lignes à double courbure, p. 27. (■*) C'est à cette propriété que la rcctiliarile doit son nom. ('*■) Voir la Note CIII.

Cette condition, évidemment suffisante, est nécessaire. En effet, Tégalité (A) peut être remplacée par

. (y^' ,,j'f -4- (zx' - xzj + [xy^ - yx'f = 0 (•).