II. De ______

on déduit

l/a'^ -t- ir' -+- c'-

puis, en prenant les deux autres relations de même forme que celle-ci, et faisant la somme des»carrés :

(/'•^-t-m'-^-4-n-)K-H6'Vc'^)=2('^^"-^*"^ - '. ^ /,. ^ ,- • (^^)

tt -I- M -j- (

L'égalité (10) donne encore, en vertu de la condition la' -H ml)' -+- ne' = 0, conséquence des formules (1) :

i/iT^^TrTT^ 2 ''"' == 2 v^'c" - ^''"^"' ^ ~ 2 («''' - '^"')^"'

Srn==-^ ■ (12)

An moyen des valeurs (11) et (12), la relation (9) devient

ou, par le changement de notation déjà employé :

(x'-^^y'^^ + z'%{yz"-zy"f + {zx"-xz"f-^ixy"-yx':r]=ï {x'x''+y'tj''+z'z''Y+\{tjz''-zy'')x'-^-{zx''-xz'')y'+{xy''-yx'')z']\)

(') La relation (9) est une conséquence des formules (2) de Frcnet. Inversement, si elle était connue a priori, ces formules en résulteraient. (Juin 1885.)

III. Uonarquvs. — 1" Dans celle identité (li), les quantités X, y, z, x', ... sont assiijelties, seulement, aux conditions

I* -f- y* -4- z* = 1 , xx' H- yy' -*- zz = 0. (14)

Eirectivemcnt , si l'on fait passer tous les termes dans un seul membre, et qu'on ordonne suivant les puissances et les jtroduils de x", y", z" ; on trouve, en ayant éjjjard à ces deux conditions,

2" La relation (B) permet, dans certains cas, de Ir ans for nier, en une somme de deux carrés, le produit d'une somme de trois carrés par une somme de trois carrés.