A- =-. ABC ... L

Celte proposition, que j'ai démontrée il y a quarante-sept ans (*) peut l'être, assez simplement, au moyen du théorème de Cauchy, sur le produit de deux déterminants (**).

II. Problème I. — Trouver un carré égal au produit de n sommes de n carrés.

(*) Mémoire sur la transformation des variables... (Acad. de Bruxelles, Mémoires couronnés, 1840, p. 17).

(**) Voir, par exemple, la Théorie des déterminants, par M. Dostor, p. 74. Le savant Professeur développe les valeurs générales de A", relatives aux cas de n = 2 et de n = 5; mais, chose singulière, il n'a pas songé, semblet-il, à la réduclion remarquable qu'éprouvent ces valeurs, lorsque les conditions (5) sont remplies. Autrement dit, RI. Dostor ne signale pas la formule (4).

( :îy7 )

La solution rt-siillc, sfumlancmcnt, du Tliroième I. Il siiflira, dans chaque cas parliculicr, de Irouvcr des cnliers, positifs ou ticgafifs, satisfaisant aux équations (3), les(|uellcs, à partir de n = 3, sont en noinlire snj)érieur à teini des inconnues (*).

III. Application. — Soit }i ^^ 3. Les «H|uaii(>ns à résoudre sont

aj)t -*- a.li^ -4- (i:^b- = 0. «,f, -+- «iCi -4- CjCj = 0, biCi -+- 6-C5 = 0.

Après quelques tâlonnemenls, on trouve qu'elles sont vérifiées par :

C, = — 29, Ci =11, Cr,= ±

On a donc

En eiïet

puis

Addition. — (Octobre 1886.)

IV. Autre application. — Soit n =-- 4, auquel cas les équations (3) sont

2a^-=0, 2"^ = ^' ^a(l = 0, ^bc=^0, ^bd = Q, ^cd=^Q.

(*) Les calculs nécessités par cette question incidente nous semblent plus longs que difiiciles.

Dans les trois premières, je prends, arbitrairement : a, = 1 , «2=2, 6i = 5, l>~2 = I , f 1 = 2, c'2 = Elles deviennent

0363 -♦ a A = — 0, ^T.Cz -+- 'j,i<i = — 0, "3C.-, -+- fliOi = 0 :

puis, SI

«3 = 0, Ci = 0:

oA = - 3. '>r/3 = -

On satisfait à ces deux-ci par ces valeurs simples :

i(i = y, hi = — \, l)s = — 0, fs = • • Cela fait, on doit résoudre les équations

On en conclut :

1 6d, -H 7tL — 25f/3 = 0, 5(U/, — 1 8</3 = 0 ;

puis, par exemple :

f/, = 5, </2 = M , '/n = 5, di = — 5.

D'après les systèmes (5), (6), (7), (8) :

D'un autre côté :

oA» -+- A3 — 0A4 ;

en supposant :

A2 = ;>(22 -+- 5) — rj(— 1 — 4) = loO, A3 = 5 . 30 — ((> — 1 1) — :i( 1 — G) = 1 80, A, = o( — 5) — 5 = — 30.

Ainsi :

± A = 7:iO -I- I «0 -f- 1 50 -- 1 080.

V. TiiÉORKMK II. — Les mêmes choses étant posées que dans le Théorème I; *i l'on fait

A = r/,D, -+- ajDj -4- ••• -♦- o„D„ (*), on a

VI. PnoiiLÈME II. — Trouver tin carré ér/al au produit d'une somme de n carrés par une somme de n carrés.

La solution est oonteniic dans Tégalité (9). Soient, par exemple, comme au paragraphe IV :

u, = \, a., = 2, Oj = 0, «, ^= 5,

On trouve :

D, = 56, D, = 72, D, = 0, D^==180. Conséquemment, 1080'= (1- -+- 2' H- 5')(5{i' -H 72' n- 180*) = 30 . 58 880; ce qui a lieu.

(*) Les déterminants D,, D,, ..., D„ sont ceux qui entrent, en numérateur, dans les formules de Cramer.

(■*) Cette relation est une conséquence immédiate des formules

i); -+-D1 H h DJ = lîC ... L,

données à l'endroit cité. En 1859, je ne m'en étais pas aperçu!