CCIX. — Sur les lignes de courbure

(Décembre 1880.)

I. Équation de ces lignes. — Supposons qu'une surface S soit représentée par les formules

x = cp(«, r), î/^n(t<, r), z = '.\»{u,v), (I)

d'où l'ésulteiu celles-ci :

dx = /du ■+- Idv , dy = gdu -t- mdv , dz = hdu -+- ndn (***). (2)

Si \ p-, V sont les cosinus directifs de la normale à la surface,

les lignes de courbure de celle-ci ont pour équations, comme on

sait :

dx dji dv

dx dy dz Pour les transformer, je considère les courbes coordonnées,

(') Page 4.7.

v^ abc(abc — p^w)

( ) pi — V'^ (p^- - a^){p^- - 6')(p* — c^) "

(Mémoire..., p. 48.)

(***) Les lettres /", l, g, ... désignent, bien entendu, 5^. ^j^. ^. —

passant au point (j-, »/, z), vl irprésentécs, respectivement, par

u = coust., v = const. (4)

Les cosinus direclil's de l;i tanircntc à In [)remièrc sont proportionnels à f, (j, It. De nièuie, les cosinus ilireclil's de la tanj^ente à la seconde courbe sont proportionnels à /, m, i\. Conséqucmnienl (les axes étant supposés rectangulaires) :

fi -♦- gii. -+- hv = 0, /à -♦- »iM -f- /<> =0; puis

gn — hm lil — fn ftn — gl Soient encore, pour abréger :

gn — hm = A, /// — fn ^^ H, /m — gl = C, (5)

Alors :