V. Àîitre identité. — Soient

y = z'a. — x'r, ( (la)'.

Soient x", y", z" trois quantités quelconques. On a, identiquement,

(x"^ -4- y- -4- z'^) [{yz" - zy"f + {zx'' - xz'f + {xy" - yx")f ^ = (a;2 +»/'-+- z^){x'x" -t- y'y" + r'z"f ( (C)

Si, par exemple :

a = l,^=2, r=5; a;'=3, ?/'=4, z'=2; x"=l, ?/"=!, z"= 2; puis

on doit trouver

(3^ + 4^ -+- 2') (1 rj' -+- I G^ -+- \ V) = (8^ -t- T + V) 11^+ (48 +- 28 — 2)*, ou

ip + 4^ + T) ( 1 0^ + 1 6^ + 1 4') = 88^ -t- ir -+- 44^ 4- 74'-'. C'est ce qui a lieu.

VI. Remarque. — L'identité (C) réduit, à une somme de quatre carrés, le produit d'une somme de trois carrés par une somme de trois carrés.

Addition. — {Mars 1878.)

VII. La solution d'un problème sur le triangle (**) conduit à ridentité

/mW'c^ — (6^ -4- c'-' — a') (c^ + a' — 6^) {a' + b' — c')= ) {b^ + c' — aja^ -♦- (c^ -+- a^ — b^fb'' -h (a^ -+- (>^ — efc\ \ ^^'^^

(*) Celte relation (C) ne diffère, qifcn apparence, de l'identité (A) démontrée à la page 22 de la Théorie analyliquc des lignes à double courbure. (Juin 1885.)

(**) Evaluer, en fonction des côtés, la distance comprise entre le centre du cercle circonscrit et le point de concours des hauteurs (Théorèmes et Problèmes. p. Vôl).

dans |ju|iU'IU' le second membre esl une somme de trois carrés, et (ionl la vôrilicatioii est facile.

Vlll. Eu voici deux aulics, dapivs lcs{|uellcs !<• cube d'une sonnne de trois carrés est, au moins de deux munirres, une sotnwf de neuf carrés :

(a'-^b'-*-cy = {ah'-f^(bcy-^{cu',*-i-\u{a'-i-b')Y-t-[c{a-'--*-b-'-}]' -4-[6(//+r)pH-[a(6*-+-r)]*+[c(c*^-ayf -^[6(r-+-«^)]^

= (6fl*)»-+-(c/>-)--t-(«c-yH-| /j(/;*-«-a*)|--t-| (•(6*-t-a*)]*-+-[aK-4-Oj- ' ' -+-[6((r-+-c-)]--t-[c(c--+- />*)]--+- [«(c'-t- 6*)]* (*).

Pai' excinple :

{ 1 -+- 4 -+- 1 ())' = 4* -+- ùiT- -t- 4* -t- 5* -+^ 20* -4- 40- -+- 20- -\- 08* -4- 54- = 2* H- 1 (i* -4- i G" -+- 1 0* -I- 20» -4- 1 7- -H 54* -+- 80* -4- 20*.

I\. Décoinposition en hi carrés. — On a, identiquement,

( — x-+-3/-+-z-t-M)*-+-(x — y-«-r-4-Mf-+-(x-4-»/ — r-Hi/)*-+-(x-+-î/-+-r — m)'

= 4 r^ a* -+- (i y x'tf- — 24.T?/2wJ ; et, si ;/ = 0 :

( — X -+- y -+- r)' -4- (x — y -4- z)' -H (x -4- y — zf -+- {x -\- y -h zf =

On a aussi

4(x* -I- II- -^ z-f ^ 4 [2 X' -+- 2 2 x^i/=]. Donc, par soustraction,

( — X -y- 1/ -+- z'f -+- (x — y -H s)* -+- (x -f- y — z)* -+- (x -+- »/ -h z) = 4(x* -H ?/* -t- Z-) -t- 1(J 2 ^'y'- Le second membre égale

(2x* -t- 2î/* -4- 2z*)^ -4- (4x?/)- -4-- (4.yzf .4- (4zx)*;

(*) On sait que (a* -+-/>- -4- c^)" est réductible a une somme de trois carrés (Mémoire sur certaines décompositions en carrés, p. !>).

( 58 ) en sorte que rideniité devienl

Ainsi, la somme de quatre carrés peut être égale à la somme de quatre bi-carrés (*).