CCXIII. — É«|iaa(iou<« diflereuticlles totales

{Mai 1884-) (■').

Il y a quelques années, M. Joseph Bertrand a fait connaître une ingénieuse méthode, qui permet d'intégrer l'équation

Xdx -+- Ydij -t- Idz = 0 , (1 )

(juand la condition

IdZ d\\ (dX dZ\ fdY dX

\dy dzl \dz dccJ \dx dyl

est remplie ('), Je me propose de simplifier et de généraliser le procédé en question (").

(*) Journal de l'Ecole polytechnique, 18*^^ Cahier, p. !298.

(") Sur les Nombres de BernoulH et d'Euler (1867), p. 18.

(**') Sur l'intégrale...; par M.Charles Hermite (Académie de Turin, 1878).

(") Leçons à l'Université de Liège.

(') Comptes rendus, 18 décembre 1876. On verra, plus loin, pourquoi nous avons modifié les notations adoptées par M. Bertrand.

("') 11 ressemble beaucoup à celui dont j'ai l'ait usage dans le Mémoire intitulé : Recherche des lignes de courbure de la surface... (Aoadémik ne Bkl- GIQIK, 1861).

I. I.rposi' de la mctlmlt'. — i;o(|uation (i) est, ni vertu dr la relation (:2), une eonsé(|uenee du système niuilinire :

dx du dz

rfZ d\ d\ dZ fiY dX

dy dz dz dx <lx di/

Soieiil

deux intégrales de ce système. D'après un théorème eormu, toute autre intégrale est réductible à

En particulier, rintcf/rnie de la proposée (1) est réductible à cette forme (5). Conséquemment, si l'on prend a, [3 pour variables, l'équation (1) sera transformée en

M, N étant, bien entendu, des fonctions de a, (3 (*).

II. Remarques. — 1° Si, des équations (4), on tire les valeurs de X, y, pour les substituer dans la proposée, la variable z devra disparaître (**). Donc, pour abréger le calcul, on peut supposer dz = 0, et même r; = 0, si aucune des fonctions X, Y, Z ne devient infinie par suite de celle hypothèse.

^2" D'après cela, l'équalion (1) peut être réduite à

\dx -H \dy = 0. (7)

Et comme on déduit, des équations (5), (4), en faisant r = 0 :

dx , d^ , dp , dp

— (/a- H dy = dv., -— dx -\ a y = dp ;

dx dy dx dy '

(') A part les applications, la Note de RI. Bertrand se réduit à ce qui précède.

(") Propriété connue.

( 378 ) on peut prendre, dans la transformée (6) :

3" Si, au lieu de z = 0, on faisait x = 0 ou 7 = 0, on trouverait, soit :

f/S rfS dry. dv.

M=Y-i--Zy-, N = Z---Y-; (9)

az dij dy dz

soit :

dB dB da da

dx dz dz dx

4" Les trois valeurs de M, et les trois valeurs de N,ne sont pas nécessairement identiques : il suffît qu'elles soient proportionnelles, afin que l'équaiion (6) ne change pas. On a donc la relation suivante, à laquelle satisfont X, Y, Z:

dor.

doc

dx Z

dij

5" Après quelques simplifications, elle devient

fdad^ dad^\ fdadfi dad^

\dy dz dzdyl \dz dx dx dz

dy dz dz dyj

(da. dB da dB dx dy dy dz

G" Au fond, cette identité ne diffère pas de la condition d'inté- (jrabilité (2). En effet, les différentielles des équations (4.) étant

da da da , dB , dB dB ,

-— rtx -t- — - (/ w -H — - rtc = 0 , -7- dx H — - dy -h -^ f/z = 0 ,

dx dy dz dx dy ' dz

(*) A cause (le

dx (II/

ces valeurs rendent identique l'équation (6).

dx (il/ dz

da db dx di ~ d^lj ^d^Tdi ~ da. di da rfS '

I r t I II

dij <tz dz dx dz tlx dx dz dx dtj dy dx

cl, pour que ces éf|iiah()ns simiillances s'aceordcni avec le système (4), on doit ;ivoir

dij dz dz de dx dij

da rfS f/a dp da dp (hx dp d'i dp r/jc dp dij dz dz dij . dz dx dx dz dx dy dy dx

III. Ajjplication. — Soit pris, comme dans la Note de M. lîertrand, l'exemple classique :

iy' "+"!/*"+" -')'/-i" ■+■ ('^ ■+- ~^' -«- J'^)dy ■+- (x* -\- xy -¥- y'^)dz = 0:

de manière ([ue

X = 7" -+-?/;-♦- z', V = -- -+- zx -I- X*, Z = X" -f- xij -+- y'.

Le système

dx dy dz

z — y X — z X — y a pour intégrales

X H- (/ -H : = a , X" -+- ^* -+- z' = p. Si l'on suppose r = 0, on trouve, par les formules (8) :

M -= 2(i/'' — x^) , .\ = x'^ — y'; ou, en supprimant un fadeur :

M = — 2 (x- H- xy -+- y'^) , N = x -+- ?/ ; ou encore :

( 580 ) L'équation auxiliaire (6) est donc

L'intégrale de celle-ci étant

on a, comme intégrale de la proposée,

yz -t- zx -+- xy

a; -+- y -frésultat connu (**),