VI. Re?nar(jue. — La condition

. fdZ (IY\ . /(IX r//\ ^ /r/Y ,(\\ \(h/ dzl \dz dxJ \dx dyl

est susceptible d'une ùiterprétation géométrique ass^ez simple.

L'équation

Xdx -4- Vf/// H- yjlz = 0, (1)

si elle est intégrable, représente une infinité de surfaces S, ayant

pour équation

(*) /»ii7(' de rExercice 24 de M. Hoiiel (t. III, p. 25i). Dans celui-ci, le premier terme est (j/*-+-x*)rr/r : la condilion d'intégmbililé n'est pas remplie.

Les équations (5), ou leurs intégrales (4), représentent deux séries de lignes L : ces lignes sont situées sur les surfaces S, c'est-à-dire qu elles en sont les génératrices.

En effet, les cosinus direclifs de la tangente T, à L, au lioint (x, )j, z), sont, d'après les équations (5;, proportionnels

aux binômes

f/Z rfY dX dz (/Y d\

aij dz dz dx dx dy

D'autre part, les cosinus dircctifs de la normale N, à S, sont proportionnels à X, Y, Z. Or, l'équation (4) prouve que ces deux droites sont orthogonales. En d'autres termes, la tangente T est située dans le plan tangent à S.

Addition.— {Octobre 1886.)

VIL Conditions d'intégrabilité. — Soit l'équation à quatre

variables :

Tdl -+- Xdt + \dij -t- Zdz = 0. (14)

Si l'on exprime que le produit du premier membre, par un facteur 1, est une différentielle exacte, on trouve les conditions connues :

iM^

VllL Remarques. — 1" Les équations précédentes se déduisent les unes des autres, par une permutation tournante. Si l'on continue cette permutation, on trouve une quatrième condition (surabondante) :

ld\ d\\ iil\ dl\ ^IdZ d\\ ^

\f/^ dx I \dz dyl \dx dz 1

(■) Dans son grand Traité (l. Il, p. ol6;, Lacroix donne les équations (t5), (17), (18); mais non l'éqnation (16).

Y/Y dz

dZ\ (dZ -+- Y

dyl \dt

f/T\ ^ 'f/T dz 1 \dy

'dZ ail

dT\ un -+- z

dz 1 \dx

dX\ ^ [dX dt 1 "^ [dz

dZ\