IG
d'Y dx
dt 1 \dy
dY\ (dY
U-X ■ dxl \dt
Du irstc, il csl facile de vciilior (|ue cellt'-ci esl une consé- (|iiciK'<' <le> Irois aulres. En cHci, si l'on divise par TYZ, ()ar \ZT, elc. ; on pi'Ul, pmir ;il)rt''iior. é<rire ainsi ces (pialrc cqualions :
u -+-/;-»- r^^O, h ^ tl ^ e = {). d -^ f — r = (>, /-+ « — e = 0.
Donc
ou
"■ï" L'c(|uatinn (l(S) ne dillcrc pas de réquation C^). Ainsi, pour (ino rc(ji((ili())i
'Vdl -+- \dx -4- Yf/// -t- Zdz = 0 (11)
soil intèf/rable, l'équation auxiliaire
\dx H- \dij - Zr/c = () (1)
le doit être (*).
I\. Intégration. — Poui fixer les idées, prenons l'équation (18), écrite ainsi :
[dY rfZ\ (dZ dZ\ (dX dY\
La proposée (14) esl, en vertu de celte condition (19), une conséquence du système auxiliaire {**) :
dl dx (II/ dz
0 r/Y dZ dZ dZ d\ dX
dz dy dx dy dx dy
Celui-ci suppose / = const. = y.
(*) Celle-ci suppose / = coni>l.
(") A chacune dos quatre conditions d'intégrai)ililé correspond un système auxiliaire; par conséquent quatre systèmes, entre lesquels on pourra
choisir.
Si, comme dans le paragraphe I, les intégrales des deux autres
équations sont
on tirera, de ces égalités, les valeurs de x, y (en faisant varier 0, pour les substituer dans la proposée : z disparaîtra, et l'on aura une équation différentielle entre a, (3 et t. Supposons que l'intéerale soit
alors l'intégrale de l'équation (14) sera
F[cp(x, .V, r), ']>(x, .V, c), ^1 = C. (-2i>)
\. Autre méthode. — Elle résulte de la seconde Remarque (VIII).
Soit,
/•(/, ,r, y, z) ^ 6 {Tô)
l'intégrale de l'équation (1), t étant supposé constante. Pour en déduire l'intégrale de l'équation (14), il suffit de remplacer la constante arbitraire 9 par une fonction de t, convenablement choisie. A ce point de vue, on a
(U [(h , (If di
— dt -v- — ax -H — dt \dx il y
di -\- I — dx-^ — dii H dz] = dû.
\dx ily -^ dz I
La quantité entre parenthèses est égale au trinôme Xdx -h Ydy -+■ 7aIz, multiplié, s'il le faut, par un facteur A. En conséquence,
de =[- — ât] (//. (24)
D'après ce ([ue nous venons de dire, le second membre doit être indépendant de x, y, s, soit actuellement, soit en vertu de l'intégrale (25) (*).
(*) Celle mélliode n'est pas nouvelle; mais nous croyons en avoir simplifie l'exposé.
