XIV. Remarques. — 1" Le premier facteur est arbitraire

2" D'après les valeurs (18), on a

yz" -^ zy" = y'z" — z'y'\ zx" — xz" = z'x" — x'z", xy" — yx" =\'y'' — y'x";

donc ridenlilé (H) est la même chose que

^x'^^y'^^+z')\{y'z'-z'y'J-^[zx"-x'z'f-^{x'y"-y'x"f]\

3" Celle-ci est, pour ainsi dire, conjuguée de la relation connue :

= f»/'x" - zy'J -H {z'x" - x'z'J -H [xy" - yxj,

laquelle suppose

(*) Soient

et, par conséquent,

On trouve :

x = \ — .lie", y = 1 — 5/y", 3 = — 5 -1- ù{x" -h y");

puis, en vertu de la seconde Remarque,

(1^ + r^ -t- 1*) [(1 — x" — %j"f +. (- 1 + îix" + //")•- -4- {x" — v")M

= (1 — ôoi''f -^ (1 — 5//')2 -+- [- i2 -+- 5(0:" H- l/")|^ qî/f'/s que soient x", y".

(**) Celte petite transformation a pour cHct de simplifier les calculs.

Autre (iddilion. — (J/«/ 1 S86. )

\\ . Kii (list'iiliiiii l'ideiilili' (F), on irouvc ces deux-ci :

{a -4- />-+- r -+- r/)*-v (a-^h — c — r/ )*-*-(« -t-r — h — df-^{u -»- (/ — h — c)'

= 4(«* H- // H- f *-+-(/'), ( — a-i- !>-*-(■-*- f/)*-4- (« — b-*-r-i-di'-i-((i-^h — (-+- f/j* -+- (« -»- 6 -4- c — f/)*

évideiiles et eonniies (*).

On en concliii les identités :

= a*-i-lr-\-r-^d\

^o^-H.6*+c--+-^n' /«*/,^-Hf*H-r/n^ fu^^(r—cr-^d'V

= a*-+-//-+-c*-Hf/*,

qui permettent de décomposer, en carrés, une somme de deux, trois, (juatre bi-carrés.

Soit, par exemple, le nombre i\= 5 108= l*-i- 3*-(-o'*-(-7^ On trouve

XVI. Ce n'est pas tout ; la relation (M) est un cas particulier de rident! lé évidente :

dans laquelle

(') Rcalis s'est servi de lu première pour clablir de remarquables ihéofèmus (l'arithmétique (Nouvelles Annatcs, 1875, p. 219).

C\. — Développemeiits de l'intégrale elllpti(|tie «le première espèce.

(Mai 1872) (*).